考研冲刺前的总结 —— 综合错题

张宇 30 讲基础高数 1 刷第 1 章#

没想出来怎么做，函数有四大性质：奇偶性，有界性，单调性，周期性，考虑该函数为奇函数，由此解答。

其实也有利用到奇函数的特性，我是利用相加去做的，最后做的有点复杂，但是也能做出来。

本题混淆定义域和值域的概念，对于这种题，首先要画图，然后将里面函数的值域作为外面函数的定义域带入，但是最后的定义域是写内层函数的。

做这道题的时候利用的是导数的性质。而答案采用的是基本不等式，上下同时除以一个绝对值 x（需要排除 0）。当然我认为不如分开讨论 x，-x 和 0，上下同时除以-x 然后用基本不等式感觉也不错。

针对这种题的思路是同取对数进行处理。

并且本题 1 刷时数字抄错（6lnx 求导时少抄了 6），错题重刷时 14 的平方 -12 的平方少算一个 10（算成 42）充分证明了计算错误的可怕，以及一步一回头的必要性。

本题在 1 刷时采用类泰勒公式的解法，而事实上 2 的 x 次方可以化成类似 e 的 x 次方的形式，直接将 x 带入即可。

如果采用类似泰勒公式的解法，则是事实上完全不需要给出这个式子。

直接像下面那样子 x=0 处泰勒展开就好了。

本题的做法是需要注意到 y=arcinx 的值域为-pi/2-pi/2，所以得分区间进行讨论。1 刷的时候进入了一个很大的误区，那就是：

令 y=sin(x-pi)，x 的范围为 pi/2-3pi/2，此时也就是说 x-pi 的范围是-pi/2-pi/2，如果直接取反三角函数，也就是 arcsiny=x-pi，最后得到 x=arcsiny+pi。

错误点在于，原函数其实是 y=sinx（也就是此 y 非彼 y），x 的范围为 pi/2-3pi/2，变化为-y=sin(x-pi) 才对，而不是直接令 y=sin(x-pi)。

本题采用直觉做，错误，告诫一定每一题都要算出来，而不是依靠直觉。

关于这题，对是对了，可以注意一下解法，也就是令 g(x)=f(x)/(f(x)/g(x))，当然直接反过来得到 1/A 也是没什么问题的。

本题把两边同时除以一个 n，错误点在于没有讨论 x=k 的情况。

本题采用洛必达，不过其实用 xlnx 的快慢收敛更简单。

这道题需要注意方法，也就是夹逼定理。需要注意的是其等号的作用范围。尤其需要注意当 10/x 时，符号方向得反过来。

关于本题，其实是作对的，但是一开始的时候把 ln(x+y) 拆成 lnx+lny 了，尤其需要注意。

本题完全忽略了 1+x 的平方也可以展开，所以没做出来。

尤其需要注意两个展开式应该相乘，而不是展开式直接相加。

Ln(cosx)/x 的平方，其中不可以直接利用 lnx<x，第一是因为这是无穷大时的结论，第二是因为 ln1=0，0/0 属于未定式。

注意求的是第二类间断点个数，不要把第一类算进去了。

求解这类题的时候，首先是找出可能的点，然后一个个去试，需要注意 acrtanx,e 的 x 次方，|x|。

错选为 C。想当然的锅，事实上认真算一下就知道了。

错选为 C。只考虑了>1，没有考虑<1 的情况，倒反天罡。

本题也是错在想当然上面，1+x+x=2+x，然后填错了。

做出来是一条直线，对完答案之后没有复盘。

对于这题，化简到 xe^x-e^x+1 的时候，如果提取 e^x 然后一阶泰勒展开就可以得到经典的错误，标准的零分。原因是底下是 x^2，而泰勒展开是有皮亚诺余项的，显然不足以满足。

-() 要变号，低级错误。

泰勒展开只对 sinx 展开，没有考虑 cosx。事实上这题应该把 sinxcosx 视为 sin2x 来处理会很方便。

张宇 30 讲基础高数 1 刷第 2 章#

本题利用函数极限的保号性，只不过是对 1 保号，也就是最终肯定是在 1 处附近。所以前有限项只要有比 1 更大的，那么就存在最大值，前有限项只要有比 1 更小的，那么就存在最小值。

其实是保序性。

低级错误，脑测为 1。

本题 1 刷时毫无思路，对于第一问，显然是使用夹逼定理；对于第 2 小问，应该想办法把 an 或者 bn 变成对方，从而得出答案。既然思路是这样，那么根据等式，an 显然不方便进行代换，所以换 bn。由于 bn^2 和 1-cosx 可以代换，所以进行代换，从而迎刃而解。

本题作为错题二刷时做错了，因为分数倒腾来倒腾去导致计算错误。

证明此类题有两种做法，证单调有界，利用压缩映射（先猜再证）

对于本题，先证单调性。后一项减去前一项，可得一串式子，这串式子算对了，但是最后想利用单调性的时候，3/2 算成 3/4，且没有利用有界性。

顺带提一嘴，本题在二刷的时候最后脑算 2A^2=3A，算错了。

利用结论，1 刷和错题刷都错了。

事实上，只需要画图就可以很好的理解这个结论。

本题 1 刷和错题订正都没做出来，原因是不会。当然经过强化之后，这点知识是还可以的，因为这道题明显是上面说的第 2 类做法，在进行压缩映射的时候，需要利用拉格朗日中值定理等条件去放缩。

用夹逼定理和特值法做。

本题为低级错误，根号 n 除下去的时候要注意。

违规使用等价无穷小代换

考虑夹逼定理，这题二刷差点没做出来。比较正规的做法是分块算，也就是把 1/n 和后面的一大坨给分开。

一刷时没思路，错题重刷时没写，现在再做一次，二刷的时候再做一段时间才做出来。本质的思路是把 xn 解出来，然后 x1< x2，对应的函数单调递增，可得单调性，有界性对于 xn 而言显然。

张宇 30 讲基础高数 1 刷第 3 章#

关于这道题，1 刷的时候暴露了一个问题，那就是我不是不会做，而是总是在最后一两步的时候突然犯蠢。所以不只是得走一步看一步，还得着重检查最开始和最后，这些都是最容易让人懈怠的。

这两题可以放在一起讲。这道题其实是有结论的，具体结论在武忠祥老师的强化课基本搞明白了。包括我没放进来的下一题，重点是记住这两个：

x|x|以及画图，画一张图就能理解函数的导数绝对值之间的关系了。

当然也可以用传统做法做。

例 3.5 就是想当然了，算一半直接选了错误选项。

例 3.6 则是试根用长除法，但是 2 刷的时候才突然意识到，原来可以先因式分解，然后问题就迎刃而解了。

开卷子初期时候补充：需要注意本身就不可导的点，例如 x 的 1/2 次方，x=0 不可导。

这道题是一刷的时候没算完，只算出来了交点没算完极限。

这两题可以放在一起讲，1 刷的时候明显对概念不熟悉，错题重刷的时候也一般，2 刷的时候险些没反应过来。

对于不经常考的考点也需要注意。

本题是知识点的不熟悉，需要注意。

没想到洛必达。

2 刷的时候看了提示才想起来。

在这里可以辨析一下洛必达可以洛几次，如果某个函数在一个区间内 k 阶可导，那么在这个区间内可以洛 k 次；如果一个函数在某点处 k 阶可导，那么在这个区间内只能洛 k-1 次。

上面这个说法是错误的！一样只能洛 k-1 次。可以洛的前提是第 k 阶导存在（或为无穷）

张宇 30 讲基础高数 1 刷第 4 章#

本题一开始想成相加，后来做的时候使用的是上一节的导数思想，然而在处理 tanpix4 的时候翻车了，这里 x 趋向于 1，而不是 0，所以在这里的处理需要小心。2 刷的时候用的是洛必达，感觉也是可以去凑一下的，但是没必要。

本题答案的解法采用的是第 2 种，也就是采用 uv 的求导。

注意辨析 x 和 y 之间的关系，这里的 3+e 指的是 y，也就是当 y=3+e 的时候，x=1，而不是 x=3+e

连续的 yx 等的计算错误以及加减号

这题错在利用公式法的时候，求解出 dy/dt 和 dx/dt，直接拿前者去对 t 求导，而不是拿 dy/dx 对 t 求导。本题 2 刷时尝试使用公式法。

本题错在两个地方，第一，x=arctant 求导求出来最后是带 x 的，第二，一个经典的错误，标准的零分：除以 1/(1+t^2) 一定不是直接把这个写在分母。

大量的计算错误，且一开始没注意到取对数。

题没看完，求的是 x=0 时的点，而不是完整的。

本题可以采用归纳法，1 刷时采用牛莱公式，但是确在计算 C（上 1 下 n）时出现问题，做出来等于 1，实际上应该为 n。

利用牛莱公式，结果 C(n,k) 再次记错公式。

低级错误，漏抄了一个 2

低级错误，求二阶导的时候求成 A+1 了。

低级错误，求 dy/dx 的时候忘记除以 dx/dt 了。

没想到用泰勒公式

进行泰勒展开的时候需要尤其注意最后求的是什么，而不是直接把 x 的形式保留在那里。

张宇 30 讲基础高数 1 刷第 5 章#

看了半眼才反应过来是构造函数

严谨的证明是利用费马定理 + 举特例

关于这题，需要注意两件事。第一，看到 e 的 x 次方一定要想到正无穷和负无穷；第二，关于无穷的时候 e^x>x>lnx，这个要记住。

数列。

1 刷时已经根据不出草稿了判断出哪里计算错了，二刷时则是因为对 tanx 求导，求导求成 secx 求导。

低级错误。1 刷时做对了，但是选错选项了（答案是 B，错选为 D）

本质是极限的计算错误：

1 刷的时候错误在计算 y-ax 的时候，单独先算了前一项；错题重刷时错了是因为不知道为啥洛必达的时候，把-e^x 跳步成了-xe^x。

张宇 30 讲基础高数 1 刷第 6 章#

注意零点定理的作用范围。在[a,b]连续，在 (a,b) 上有零点

做这题的时候完全没有任何思路，只尝试了一下用二阶导表达。但是显然二阶导不能用

本题做的时候当时还没学为微分方程，所以没做出来。

这题 2 刷的时候虽然做出来了，但是花了大量的时间，原因有以下两点：

1. 被一阶线性非齐次微分方程的通解公式给影响了
2. e^x，e 的次方上面的式子假设是 alnx，那么不可以变成 e 的 a 乘上 e 的 lnx，原因很简单，e 的乘法等于幂上的加法。

应该是做了一会儿没思路直接看的答案。

本题可以利用罗尔原话去做，具体就不讲了。

这题证明的时候采用的是导数的定义，其实是可以做的，最后也是导向类似拉格朗日中值定理，但是当时做的时候完全没反应过来。

X^2>=0

这题做的是对的，不过除了构造法之外，还可以用拉格朗日中值定理。

一刷时标记先跳过，结果也没看。

这道题可以注意一下，可以看出有 3 个根，然后证唯一性可以用罗尔定理的推论来获得上界。

本题没看完题目（求正实根）

本题 1 刷时没做，2 刷时也没做，难度不高计算量很大，就放了。

但是可以注意一开始如何设函数。

本题和答案方法不一样，利用罗尔原话！

这道题我自己是在做的时候硬求导然后反复利用题设的结论。

没做出来。对于这类题在强化的时候总结为要证两可以相等的，用两次拉个两日/柯西中值去凑。

本题采用隐函数反带入做的，但是和 2 刷时的 sinx 那个一样，可以采用罗尔原话！

张宇 30 讲基础高数 1 刷第 7 章#

用定义去做

单位

1 刷时没做。

张宇 30 讲基础高数 1 刷第 8 章#

1 刷时没想到两边同时对 x 求导，需要注意这一点。同时求导可以消去积分号。

错题重刷时这题算错了。

想到用几何法做了，但是在做的时候没有沉下心来捋清楚对应关系所以才做错了。沉下心来捋清楚关系其实不难。

3 没想到用几何法去做，而 2 则是想当然的直接认为是对的。

事实上这题结合图像去做很简单。

想到强化阶段时武忠祥老师的一个简单结论，如果变化和 n 程度相当，大概率是往定积分方向去想，所以先提出一个 1/n，然后去凑形式。

这题错是因为上下同时乘上 n，而不是一步步去凑形式。

本题错在 2 个方面。第 1 是经典的错误标准的零分，tan(pi/4)=1，而不是 1/2，tan(pi/2) 不存在，而不是 1；第 2 是没有想到怎么放缩，也就是对放缩用的不熟练，这题是一个经典的放缩，并且在第 6 章的课后题有证明。

没想到怎么做。对于含三角的式子，第一反应就应该是区间再现。

变限积分存在就连续，其他就是应用对于变限积分的讨论了。这题应该是不小心看到了答案，做的还是没问题的。

导函数在该点存在不意味着导函数在该点连续。事实上这道题只需要说明导函数在该点存在就可以了，显然这道题导函数的左右极限都相等，所以存在导数。

又可以联想到此前的论证，函数极限存在和函数连续是两码事，函数的极限存在和函数的左极限=右极限一样，但是函数的左极限=右极限=函数在那个点的值才可以说明函数连续，这是一个我经常错误的点，需要注意。

当然这道题用结论做就好了。

这道题没有思路，但是放在 2 刷来看的话，其实绰绰有余，不断地利用绝对值不等式以及积分不等式就可以了，对于这类题，必要的时候也应该联想到拉格朗日中值定理。

这道题可以注意一下，是凭感觉直接做的。

这两题放在一起讨论。这两题张宇的课本给的都是很玄学的做法，导致我完全不能理解这一块内容。事实上，对于反常积分而言，并不是所有的点都是在 0 或者在 + 无穷处无定义，1 这个点只是常用分界点，而不是必然分界点。

所以，对于第 18 题，观察到无定义点为 0 和 1，所以分区间讨论，分成 0-1/2 和 1/2 到 1。当 x->0，可以发现 lnx 对 x 无影响，所以由 p 积分可知 a<1；当 x->1 时，对 lnx 进行变形可以得到 x-1，对其进行讨论发现其无论如何都可以积出来，所以不影响收敛性。

对于 19 题是类似的，这里就不展开了。

没想到简单做法，在那里硬算。

和前文同质错误，也就是原函数，可积和变限的可导连续判断。

本题没有踏踏实实计算，直接化简成了 (1/sqrt(1+x^2)) 去做，很是低级。

没想到怎么做，本题是夹逼定理和积分的结合。

本题采用一个很低效的办法做，也就是定义，而且最后还因为+-错误而错误。事实上，这道题可以利用本章第 1 题的做法，两边同时求导，就很轻松能做出来。

和前文的敛散性判断同质错误。

张宇 30 讲基础高数 1 刷第 9 章#

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张宇 30 讲基础高数 2 刷第 1 章#

本题做错，原因是只考虑了 x 范围是[-pi/2，pi/2]的情况。

做这题首先都考虑定义域，可知定义域就是 R。所以需要讨论其他情况。

这道题订正下来其实也是瞄到了答案才做出来的，无从下手分析，对于绘制函数图像，从函数的四个性态出发，显然本题应该从周期性考虑。

张宇 30 讲基础高数 2 刷第 2 章#

这一题可以注意一下，没说做错了，但是在证明有下界的时候，我是直接说他>0，所以有下界，从而必然有极限，但是可以更优雅一点。

张宇 30 讲基础高数 2 刷第 3 章#

本题考虑了复数。但是需要注意一件事，以 x^3-1 举例，其虽然有 2 个复根，但是它们并没有对函数的性态产生影响（指的是并没有在 x 轴上产生多余的零点）。所以不需要考虑复根。

张宇 30 讲基础高数 2 刷第 4 章#

经典的错误，标准的零分：除以 1/(1+t^2) 一定不是直接把这个写在分母，一刷也错在这个知识点上面。

做了一阵子之后意识到要取对数，也意识到应该答案里不可以带 y’，但是最后一步的时候，忘了把 y’展开。

不过这道题订正的时候采用的是往回带的形式，我觉得比取对数更好想出来。

利用泰勒公式，先展开后面，但是在进行乘 x^2 时，只同步缩小了下面的 n，没有同步缩小上面的 n。尤其需要注意该漏洞。

张宇 30 讲基础高数 2 刷第 5 章#

错选为 B。

当准则失效了，那么就利用最基本的东西去看，也就是当 x<0 的时候，y 的二阶导的性质，当 x>0 的时候，y 的二阶导的性质。

回归本源。

另外对于拐点，极值点的东西，可以去翻一下 p149 页的二级结论（感觉也不大会去看）

其实意思就是无定义点看附近。

做对了，但是这题需要着重注意：

1.特值法只能排除，不可以确定答案 2.针对这道题无从下手，为什么，因为没判断出函数的性质，所以需要对整体进行求导。

低级错误。uv 型求导的想当然：

关于这里，所有需要变动正负号的时候都必须要注意作用范围。

错题重刷的时候有歧义，主要是在 0 是不是拐点的讨论上。化简到最后，可以注意分母有一个是 x^4，所以 0 显然是不影响的。

张宇 30 讲基础高数 2 刷第 6 章#

2 刷时，知道不妨令以及用导数定义区表达，并且可以通过画图得出结论，但是不知道怎么表达。

忽略了费马定理：某点可导且为极值，该点导数值为 0。

错选为 B。属于低级错误。意识到了是凹函数和凸函数的定义，但是直接想当然选选项，而没有细致分析。其实再多想一小下就可以意识到凹函数 f’’x>0，然后列出定义就可以做出来。

正推法，泰勒展开，在 1/2 处展开；排除法，显然可以通过直线排除 A 和 C，然后通过特例，也就是 (x-1/2)^2-1 相关排除掉 B

错题重刷也是用的特值法，特值法比较好想出来。

知道大概怎么做，但是不知道怎么表达。利用罗尔原话！

或者讨论 sinx/x

回过头来思考一下这道题。

如果是利用罗尔原话，那么得在闭区间上讨论，求二阶导之后发现至多有 2 零点，并且被端点占了，所以闭区间内必然没有零点，所以随便找一点就可以说明其正负性

而这道题也可以直接讨论，因为区间就是在 0-pi/2，不需要给自己加戏

然后，这道题直接用凸函数弦弧法即可，也就是因为两端点为 0，且二阶导恒负，所以是上凸的，可以直接说明。

被强化的一道题影响了，注意这道题给定区间是[0,1]，而不是[a,b]

张宇 30 讲基础高数 2 刷第 8 章#

1 刷时没搞清楚原函数、定积分、变限积分和反常积分的概念，而二刷时这题也错了。

这里总结一下，如果一个函数的导数在该区间内有第一类间断点或者无穷间断点，那么一定没有原函数。如果有震荡间断点，那么不一定。

一个函数在某区间内可积的条件是连续，或者有界 + 有限个不包含无穷的间断点，或者单调，或者有有限个间断点。

对于这题，通过上面的判别法可知，1 不存在原函数，但存在定积分；2 存在原函数，但是不存在定积分。这里判断定积分存不存在的粗浅的办法是可以看导函数的这个是不是无穷振荡间断点；4 存在原函数，由于他是趋于 0 的震荡间断点，所以可积分（有界 + 有一个震荡间断点）；3 没有原函数，也没有不定积分。

这里又得和变限积分区别开来，假设变限积分里面的 f(t) 连续或者有可去间断点，那么变限积分可导，如果有跳跃间断点，那么是连续，如果有无穷间断点，那么是不连续。

那么，变限积分和定积分在判别法上的区别是什么？我们讨论的是定积分存在与否，而变限积分这里有更高的要求，要求判断这个变限积分函数的性质。

【定理】：如果函数 f(x) 在闭区间 [a, b] 上的定积分存在，那么 f(x) 在 [a, b] 上必定是有界函数！

如果导函数 f(x) 在有限区间上【有界】，那么原函数 F(x) 必然【有界】！

在有限区间上：若原函数 F(x)【无界】，导函数 f(x) 必然【无界】！

重刷的时候是没问题的，判断出来 2 的导函数是无穷震荡间断点，所以定积分不存在（定积分存在得该函数是有界的，在 0 处无界）。

积分中值定理证明这题会导致循环论证。

必然存在一点 C 是正的，然后取微小区间，用矩阵面积来算。

重刷，利用任取一点的附近证明，主要是思路得会（不可以用积分中值定理，因为涉及到循环论证）

本题变成先用介质定理创造一个 f(ε) 了，对介质定理理解错了。值得注意的是，这道题如果改成开区间，那么可以用拉格朗日中值定理证明。

重刷，应该利用最大值最小值定理，而不可以用拉格朗日中值定理（后者是开区间）

想当然没有把具体的过程写出来，导致原积分是什么写错了。经典的错误，标准的零分，可以注意 1/n 只是形式，而不是要把 1/n 写成 x。而应该把 i/n 记作 x。

错题重刷时没问题，主要是这类题比较经典，利用夹逼定理放缩一下就可以了。

张宇 30 讲基础高数 2 刷第 9 章#

本题没想到用还原法，而是直接硬解，结果就是即便是把下面的东西凑出去了，也算不出来。事实上，观察到这题 x=tant 可以很方便的解出来。

重刷的时候没有具体计算，因为第一反应就是换元法了。

本题轻视。需要着重注意这种带有重根式的项如何拆，以及计算问题：采用增广矩阵求方程组的时候，一定要注意是 ax+by+cz=u，而不是四个相加等于 0。

重刷的时候把拆项的式子列出来了，这道题的主要问题就是不知道应该怎么拆项（或者说拆项的时候分子的系数不知道写什么）

1 刷没错，2 刷反而错了。想当然的将式子拆开然后没有验算是不是合理的。

错题重刷的时候这道题没做，错的是低级错误，这更应验了要做一步算一步（我的速度肯定是够的）

2 刷时这两题计算错误！！！！！！！

这两题可以放一起讲，应该都是滥用区间再现导致的计算错误。利用区间再现的时候，尤其需要注意三角函数的变形，也就是诱导公式。Sinx(pi/2-x)=cosx，cos(pi-x)=-cosx。诱导公式需要尤其注意。

然后有一个经典的错误，标准的零分，arcsin(sinx) 想拆开，需要注意其定义域！

区间再现的本质其实就是对称性，如果算出来是“奇”的，那么恰巧就可以拆掉变成 0，如果算出来是“偶”的，那么假设是对 0-pi 区间再现，那么可以优化为 2 倍的 0-pi/2。

错题重刷这两题都没问题，太经典了，尤其是考虑定义域的时候，这道题如果没有采用区间再现化简的话，会出现 arcsin(sinx)，其中 x 的范围是 pi/2 到 pi，所以非常阴。

这题是对的，不过可以注意一下原函数的表达，也就是利用变限积分+C。固定 (a,0) 点只是某点的，而不是全局的，最终还是要+C。

这题是对的，不过方法麻烦了，可以注意一下积分计算。对于 1/sqrt(x^2+-a) 来讲的原函数，一定要记住 ln(x+-sqrt(…))

这道题没去背伽马函数，感觉也不需要去背，没考概率论。唯一就是需要注意一下，对 e 的^-x2/a 的积分是 asqrtpi，如何推导？感觉不需要会推导。

Arctan(tan(x)/sqrt(2))，当 x=pi/4 的时候，里面算出来不是 1，从而推不出来 pi/4，属于低级错误。

错题重刷没去做，主要就是注意一下几个低级错误：arctanpi/4=1，arctanpi/2 不存在，arctan 根号 2/2 是退不出来是 1 的。

属于低级错误，-a(-b-b) 算成 abb。

错题重刷没去做，思路比较经典，区间再现然后第一换元法。

+C。但是这题为什么要+C 呢？f(x) 的原函数是 x(cosx+C)。当 x=0 时，显然不可以说 C=0。

无厘头错误，想到了要分 x<0 等情况讨论然后没写，然后区间在 0-1 内的算错了。

其实这个无厘头问题感觉是一个新问题，也就是对 t 从 0-1 积分，忘记积分直接用上下限相减了，同时这道题也没意识到其实对 t^2 的积分可以直接算出来。

然后，再次重刷之后发现了一个新的错误，那就是：

X 在 0-1 时，对于 t 的取值范围的前半段，并不和 x<0 时一致，反而是和 x>1 时一致。我认为的原因是我们讨论拆绝对值（在此处），应该是先讨论 x 的范围，然后根据 x 去确认 t 的取值范围，毕竟是对 t 的积分，所以才会出现不能连续的情况。无论取取多少，t 的积分范围始终是 0-1，而根据 x 进行拆开只不过是去绝对值的手段。

还有一个问题，是关于长除法的如果长除法最后一步要×-1，那么即便是×-1，也是对分解因式出来的东西的，而不是对于式子本身乘一个 -1，毕竟你已经是对因子进行长除了。

错题重刷没去做，主要是神秘的计算问题，就略过了。

其实会发现一个现象，对于计算问题，一旦这个式子非常难算，要么就是一遍算对，要么就是这错那错，我认为唯一的解决办法还是稳住心态一点一点咬下来计算，然后做一步检查一步。

张宇 30 讲基础高数 2 刷第 10 章#

对于这类题始终没有搞懂怎么计算 theta 的取值范围。但是事实上这道题属于低级错误，当 theta 取 pi/2 的时候，会发现后面是 -1。本质和下面的第 5 题错误类似，也就是没搞清楚积分区间就开始算。

错题重刷没做，因为 880 二刷刚做过了一模一样的题目。

theta 的定义域或者说积分定义域也一直是我的一个高频错误点。

算的是没问题的，但是没算 k 趋于无穷时的结果。

错题重刷没做，这道题是 2019 年的真题。但是值得注意的是，在 26 李 4 卷有一道题是这道题的改变，那道题因为牛莱公式代入计算错误了。

所以，积分定义域和牛莱公式的错误我是需要引发高度重视。

属于低级错误，算一半题抄错了，把右边的根号抄到 e 的幂上去了，而且也没考虑定义域。

在订正的时候，还是一上手就算了。一定要先考虑定义域，一定要先考虑定义域（也就是积分范围）

错题重刷没做，880 二刷刚做过一模一样的题目，并且也错了。

定义域。

忘记形心坐标公式了。在重做的时候，犯了一个新的低级错误，就是在进行定积分的带入计算时，a+(b-c)|，算这种式子的时候，上面的带入了所有的，但是下面的那个只带入了局部的去算。

用二重积分去记，而不是用一重积分去背诵。

错题重刷没做，这道题是某年的真题。依旧是牛莱公式问题。

属于低级错误。2(1/(1-x^2))，拆项后没算最前面的 2。

错题重刷没做，这道题也是一个比较大的问题，同时在 26 李 4 卷 4 中也犯了这个错误。

之前扫过 R 神的帖子，对于系数，一定是要放在积分号外面，这样不容易忘记。

属于超级低级错误，这道题是 19 号晚上在数学结束之前写的，一方面是水群，另一方面是忘记走一步算一步，例如 1/4 开根没开根，并且 y 的积分忘记 1/2 的多连环错误。

积分上下限错误，绘图错误。

尽管采用轮椅法，但是忘记 2pi。忘记 2pi 的情况非常常见感觉。

这道题错题重刷没做，是某一年的真题。采用武忠祥老师二重积分算面积体积一定要注意是当成周长来算，所以要 +2pi。

有两个非常非常低级的错误，第一，1-cost=2sin^(t/2)，而不是=cos 啥的东西；第二，化简完了最后的那一小部分之后（也就是 32/(422)=2 后，没有乘上 3）

张宇 30 讲基础高数 2 刷第 11 章#

柯西中值定理，这里需要注意，记错了柯西中值定理的形式。这道题和一类题混淆了，也就是和同一个区间内多个可以相同的ε和η的问题，那个是利用多次柯西中值定理/拉格朗日中值定理。但是对于单独的每次柯西中值定理，得出来的项是相同的。

感觉是 1/2，这道题忘了一个极为重要的思想，也就是夹逼定理。

对于这个经典函数，两个思考方向，放缩（夹逼）和图像化面积。

错题重刷没做，这道题我觉得最重要的问题是没想到夹逼定理。碰到这类式子一定要绘图 + 想夹逼定理。

有想到说在中间砍一刀，但是没想到中间可以是变量。为什么可以想到中间要切一刀，其实来自于不切一刀只能求出来 1/2，所以要切。这道题本来的想法是凑一个 x-1/4，这样可以恰好出来是 1/4，奈何如果加了绝对值算的话，积分的时候会超。

但是这道题即便看了正确解法也没做出来，感觉会很奇怪。本质上是对放缩的想法问题。

错题重刷做出来了，不过草稿很乱，就不放上来了。上面的问题这次重刷我也卡了一下，主要的原因在于没想清楚谁是 t，谁是 x，应该对谁进行讨论。

总结一下莫名其妙出现的 1/2 怎么凑：

1. x 的 0 到 1 的积分
2. 积分中间砍一刀分批算
3. 和 1 类似的，只不过是利用凹凸性的割线

这两题放一起讲，属于低级错误，不相信自己，其实再做几步就做出来了。这两道题提醒自己，放缩的时候可能两边用的不是同一个套路，例如前半边采用的是直接算出来，后半边可以是 cosx<1。

张宇 30 讲基础高数 2 刷第 12 章#

错题重刷没做。其实我对物理应用生物痛觉，不过经历了一整个暑假的研究，现在对这类题只要不是看错题目条件，其实都问题不大。

张宇 30 讲基础高数 2 刷第 13 章#

主要犯了以下几个问题：在令 xt^2=u^2，并且正确求得换元前的一切信息（包括 du）后，代入的时候，想当然塞了一个 u，导致全盘错误；在纠正了这个错误后（订正过程中），想当然的认为 1/sqrt(x) 求导就是它本身。

想不出来怎么做——忘记了隐函数存在定理。隐函数存在定理：对于 F(x,y)=0，确定的隐函数 y=f(x)，当 F’y(x,y)≠0 时，有 dy/dx=-Fx/Fy。所以充分性可证。 对于这道题的反例，可以举 F(x,y)=y^3-x^3。

错题重刷没做，我记得这道题是哪一年的真题。

本题没问题，但事实凭感觉做的（前者需要四面八方而后者只需要两根线）。并且这里混淆了充分条件的概念，以前一直记的是小推大，但是其实应该记住的是严格推宽松。

对于本题的反例，考虑 F(x,y)=x^2-y^2。

还可以举同一极值但二元无极值的反例：f(xⓜ,y)=(y-x^2 )(y-2x^2 )。

没做出来。可以取反例 F(x,y)=-x^2-y^2，以及 F(x,y)=-x^4-y^4 排除。

这里可以总结一下一些经典的反例（本章的），其实无外乎都是 x^m+y^n，中间的符号可以变，总体的符号也可以变，m=n。

错题重刷的思路是这样的，首先 AB 可以很容易排除，而对于 AC-B^2 的判定，如果为 0，那么是无法判断，所以再举一个特例就可以了。所以选 D。

本题做的是对的，只是放在这里注意一下。对于这种范围的题需要从两方面考虑，第一，函数本身的极值（利用 AC-B^2），第二，边界的极值（利用拉格朗日乘数法或者带入计算或者不等式）

对于全微分的不变性理解问题：对于这类题，采用全微分的不变性去做比采用隐函数求导法更方便，而求全微分的方法是将两边同时取 d，例如对于 sin(xy)=y 而言，同时取 d 即 d(sin(xy))=dy，而 d 的求导法则是将所有东西都当成单独的变量去算，所以是 (cosxy)(ydx+xdy)=dy。

错题重刷没做，这道题提醒我不可以某类方法入脑（我记得这道题也是某年真题来着）

对于这题，其实做的是对的，但是没敢继续往下写。

需要注意的是，利用拉格朗日乘数法算完后得出极值，但是这道题有 x>=0,y>=0 的条件，当时在做的时候脑子抽了没想到这个条件，想着 x，y 不是可以取无穷吗。

对于这道题，辨析一下拉格朗日乘数法。拉格朗日乘数法算出来的只能是驻点，所以题目里不会为难算出来的再去判断极大值极小值，带入边界条件去算就可以了。

张宇 30 讲基础高数 2 刷第 14 章#

属于低级错误，对于这种题应该先绘制出完整的积分范围（而不是只绘制一部分甚至不绘制）

错题重刷碾过去了，还是要画出积分区间。

关于这题，如何求 a 完全没有任何头绪。事实上应该利用极限的 o(x) 去做？

并非啊，事实上这道题属于低级错误，当上下同时化简了之后是 0/0 的式子，所以上面肯定是 0，从而可以算出来 a 的值。

错题重刷：这道题我也不知道为什么会做错，这类题属于非常基础非常经典的题目。我做下来怀疑是当时把 e^x2 除下来的时候，直接没管 a 那一项，所以分析的很怪。

对于这题没想到怎么做，但是隐约知道应该拆开来进行讨论……复盘了一下，发现想的是对的，但是没去算，这里的 x^2 和 y^2 只是数值而已，并不是积分区间。

错题冲刷的时候想起来 26 李 4 卷 3 的倒数第二题，其实这类题都是类似的，通过 max 得到积分区间，然后分区间讨论即可。

对于本题，犯了一个经典的低级错误（我自己错了很多次了，甚至在化简的时候每次都会提醒自己：x=rcosθ，y=rsinθ。

错题重刷的时候，想起来了这个，其实对于数 2 的来讲，大多数时候都是经典变形，也就是 x=pcosθ，y=psinθ，很少出现其他的，因为数 2 没有雅可比矩阵。

当时错的时候应该把 x 和 y 想反了。

张宇 30 讲基础高数 2 刷第 15 章#

本章需要注意一下，感觉掌握得不是很好，强化的时候当时应该也过的很快。

错题重刷时想起来 09 年真题还是哪一年真题，忘记了形式。微分方程主要就是背诵了。

本题犯了一个经典的错误，标准的零分，那就是+C，应该在化简到 ln 那个时候就+C 了，而不是等到算完之后最后再+C。

关于这题没想到怎么直接用 y/x 做，而是先同时平方然后做，结果就是没做出来。如果要取平方的话，最后会变成以 y’的方程，得解方程然后求出来 y’的表达式然后算。但是这道题其实是可以先判断齐次性。

关于这题，其实有想过正确想法，但是没敢往下推进。本题利用的是洛必达，也就是在推进的时候，忘记了自己正在讨论什么，在那里向自己应该怎么化简那个式子，却忘记了我们讨论的本来就是 y。

叽里咕噜说啥呢？两边同时取极限就算出来了。

错题重刷的时候利用的是洛必达法则，上下同时乘一个 x，推导出 xy’=0，继而 y’=0。

或者感觉用下面的做法更严谨：

对于这道题，虽然说不难，但是有几个点需要注意一下。首先是可以算一半的时候把常数项计算出来，这样可以提供一些化简的思路，然后就是和第 6 题类似的，我完全没有意识到其实 y’也可以被当作一个变量看待，然后将其解出来进行讨论，也就是忽略了“分离变量”这个最为核心的准则。

错题重刷的时候也有点忘了公式，还是想了一下才想出来的。

关于这题，我完全没有理解如何构建物理模型。感觉是被题目误导了，这题不要想什么自行车前后轮的接触点，也不要想什么物理，直接就是：

两个点 P，Q，P 的初始值是（0，0），Q 的初始值是（1，0），保持 PQ=1，令 P 向上移动，求 Q 的轨迹，完全不用考虑哪里是地面。

由于当 P（0，t），t>=1 时，Q 就变成直线向上运动了，所以仅考虑 t 在 0-1 的范围内。尤其需要注意，Q 不一定在 x 轴上，这也是我陷入迷糊的点。

对于这种题完全没有任何头绪。但是呢，其实这道题并不是我想象中的强化阶段的那类题，所以还是那句话，没敢下手是现在最严重的问题？其实不是，这道题好像就是那类不一定是常系数的题？并非啊。

y_h=(C_1+C_2 x) e^x

好好写一遍这个解，本质上是忘了。

对于这题，本质上是忘记了公式，也就是和例 17 相同的问题，是 C1cosx+C2sinx，而不是 A(cosx+sinx)。

此外对于第 2 问，三阶无穷小不等于等价三阶无穷小，所以三阶泰勒展开后，不需要三次为 1，只需要不为 0 即可。

直线方程的斜率是什么？是 k=tana，而不是 k=arctana。后续计算与例 12 类似。

错题重刷安：不过这道题其实是个真题。

本题错因为三角形底错误，三角形的底不是 T 的横坐标，而是 P-T。

错题重刷安：这道题也是一个真题。

张宇 30 讲基础高数 2 刷错题总结#

小总结

综合上面来看，还是低级错误比较多，主要综合为以下几类：

1.定积分使用牛莱公式时+-号问题 2.漏抄系数以及最后忘记乘法乘进去 3.Arctan 相关的计算 4.怀疑自己，不敢往下继续算 5.对于公式的背诵错误（尤其是关于第 10 章的计算） 6.积分上下限的判断

张宇 30 讲基础高数 2 刷错题重刷总结#

错题重刷以及过了一遍错题，我发现其实基础部分最重要的问题还是计算，思路谬误并不多。

包括从我写了真题以及模拟卷几份再回头看这些，思路都是一眼出的，拟合肯定也是到位了的，所以最严重的问题就是非思路性丢分。

张宇 1000 基础 2 刷第 1 章#

张宇 1000 基础 2 刷第 2 章#

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26 李 4 卷 1#

• 完成时间：20260930
• 分数：130
  • 选择题：-10
  • 大题：-10
• 作答时间：165

真题大于等于 140，模考卷子大于等于 135，我认为才是合格的。这份卷子还可以，错误主要集中在选择题，选择题错第 2 和第 3 题真的蚌埠住了。这份卷子一开始做的也没那么好，也是冷静下来一点点思考慢慢做出来的，所以加油，实力肯定是有的。

本题错选为 D。没检查，只算了一半。而且，f’’x 单调递增，并不意味着 f’’x 大于 0，我是在这里出现了谬误。

本题错选为 A。不可以用链式法则。使用链式法则的前提是函数可微

数列极限的证明。最后的方法有想过这么做，但是没敢写（因为我认为是要是完美的形式，殊不知可以另外设 g。（-5）

并且，除了 xn+1-xn 把 xn+1 代入之外，还可以递推式，这也是我忽略的了。

我现在才反应过来，这道题事实上不是单纯的单调递增还是单调递减，应该是都有可能，所以只能证明出它单调。

但是单调这个条件已经够用了，不论他是单调递增还是单调递减，他是整个有界的。

而我原本试卷上那个直接相减的证明，证不出来的原因是它是设出来的函数是单调递减的，所以错了。

这道题做的有点云里雾里的，其实原因很简单，忽略了实对称这个条件。

26 李 4 卷 2#

• 完成时间：20261002
• 分数：137
  • 大题：-13
• 作答时间：165

这份卷子才是真的还行，选填全对，大题倒三积分区间错误，最后一题确实没看懂什么意思

属于低级错误，积分区间看错 x^2+y^2=1 和 (x-1)^2+y^2=1 是两码事。（-8）

其实没什么好订正的，回头再算一次，这道题答案是 5/6+pi/4。

线代题目没看懂。这道题做的云里雾里的，第二问完全没看懂。

二次型本质上是一个数值，而右侧可以凑出来一个 P 转置 X 之类的式子。

计算量非常大，先过一下，这道题我觉得也得从头开始写一遍过去。

26 李 4 卷 3#

• 完成时间：20261003
• 分数：118
  • 选择：-5
  • 填空：-10
  • 大题：-17
• 作答时间：165

这份卷子还差 2 题没检查完，分别是填空题第 13 题和倒数第二道大题，对个答案先。这份卷子全是计算问题

错选为 B。对于 2，有两个问题：

第一，数列极限不可以推导出函数极限，如下所示。

$f(x) = \begin{cases} \sin\left(\frac{2\pi}{x}\right), & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$

第二，n 只是正整数，那么趋近于负数呢？

所以这题选 B 很不应该。

对于 4，只需要利用拉格朗日中值定理 + 夹逼定理就可以证明了。

经典的错误标准的零分，这类题错过很多次了（包括下一份卷子）。

一定要记住，$(b-a)/n * (a+(b-a)i/n)$，这道题的 a 是 1，b 是 t，带进去就可以了。

属于计算错误。草稿纸上也不知道哪里算错了，最后没时间检查，订正的时候重新算了一遍就算对了。

经典的错误，牛莱公式代入的时候算错，导致全部错误。

超级复杂的计算，只算对了一半，另一半算错了。这道题没订正，需要回头再订正一遍。

本题也是计算错误，在 B-E 计算的时候，把 -1 -2 3，化简超成 1 2 3（应该是 1 2 -3），从而全盘错误。

对于第 3 问，和 26 李 4 卷 2 的最后一问其实差不多，都是凑东西。

这道题也还没订正，需要再做一遍。

26 李 4 卷 4#

• 完成时间：20261004
• 分数：122
  • 选择：-5
  • 填空：-15
  • 大题：-8
• 作答时间：150

选填问题有点大。第 5 题不管先，这道题我认为我确实会掉进坑里。第 14,15,16 全是错的，大题的第 1 题则是对积分区间理解问题，依旧是黎曼积分和，第 3 题则是漏乘了一项

这份卷子总结下来不应该错那么多，这份卷子我非常自信可以拿比较不错的分数，结果选填扣那么多。

这类题型一直没掌握，直到那天认真看答案才知道怎么做。

这种表述换种说法，意思就是令 x=f(n)，其实就是取 x 为 y，那么反解出来自然也就是 f(n) 是 xe^x 的反函数。

知道了这一层，后面就都不难了。

第 14 题对 D 的把握错误，这道题有算出来是 x=1，y=1，但是，绕 x 轴转的时候，转的那个 D 用错了。

第 15 题没说 z 有二阶连续偏导数，所以应该用定义做（这个前面几份卷子就做过了）

第 16 题答案里保留了 k，事实上因为说了是正交的，所以可以把 k 算出来。

这类题不知道怎么做的时候，把这个式子抄上去：

$(b-a)/n * (a+(b-a)i/n)$

但是需要注意这个 n 是分多少份，这道题这个 n 应该是取 2n，因为原题是分成 2n。将 n 取 2n，b 取 2，a 取 0，一样解出来答案。

纯粹的低级错误。1/√2 这个式子第一行写了，然后后面每一行都没写，最后答案就差一个这个。

26 李 4 - 总结#

总结一下，我认为我硬实力肯定是够的，但是目前存在以下几个问题：

• 对计算量大的东西把握一般
• 基础概念基础手法比较薄弱
• 重复的错误（比如说黎曼积分和，多元函数不存在二阶导情况需要使用定义，牛莱公式代入）

26 李 6 卷 1#

• 完成时间：20261006
• 分数：132-15-10
  • 选择：-10
  • 大题：-8
• 作答时间：150

这份卷子写到后面发现太神秘了。而且这份卷子也是晚上写的，头脑晕晕的，对草稿纸我认为划分的还是不合理。

做到最后半个小时没去检查，直接按照向下对答案，碰到错了看一遍草稿纸看看是不是简单错误或者一眼看出来的，是的分就加回去了。本来这份卷子应该选填额外 -15，不过选择 2 我知道这道题有其他可能性只是还没去写，填空 11 和 15 都是草稿纸上抄着抄着简单抄错，就算了，检查大概率是可以检查出来的（想了一下确实可以，因为这三题都画圈了）。

此外对于大题，这份的大题太神秘了，我一开始写的时候感觉还好，但是越做越神秘，然后发现一堆奇奇怪怪的问题，好在最后把第 18 题，第 19 题，第 21 题第一问和第 22 题大部分做出来了，对于第 20 题知道大概怎么做，但是没做出来，最后问了一下 ai 才做出来的，重点是奇偶性问题，这个确实好久没做了忘光了。

这份卷子按照自己的真实水平只有 115 附近，卷子还是要多练。还有就是写一步算一步的问题，这个也需要注意，一定要写一步算一步。想了一下，还是最后不想写了，感觉太难了想放弃。

哈哈，迎难而上，坚持下去，从下一份开始又是全新的东西我说！吸取教训前进！

但是没检查就是没检查，没得说，这份卷子我也会按照不合格来看待。

条件代入的时候直接代入错误。

特征值法判断合同只有实对称矩阵的时候才成立。

所以直接排除一些选项。

利用凹凸性凸函数的性质。

确实不会。

算到最后算昏头了，混淆了 a 和 b。

其实不会难。

27 李 6 卷 1#

• 完成时间：20261008
• 分数：
• 作答时间：

880 综合 2 刷第 3 章#

这道题一开始没做出来，不过后面冷静下来了，也是想出来要怎么做。也就是先把 f(x) 画出来，然后再去讨论 F(x)。但是，我分别讨论 x 大于 e 和 x 小于 e 之后，画出 f(x) 图像，然后就直接选了 B。显然 f(x) 连续但不可导，所以 F(x) 是可导的。

对于结论 F(x) 可不可导，如果 f(x) 是连续的，或者有可去间断点，那么 F(x) 可导；如果 f(x) 有跳跃间断点，那么 F(x) 连续但不可导。

这道题结论的应用出现了很大的问题。

本题完全没有思路。

这道题总结两个点，第一是如果出现了米奇妙妙 1/2，可以从对 x^2 0 到 1 的积分思考，第二是数形结合，这道题应该利用函数的凹凸性绘图来解答。

本题没什么思路。碰到这类题，应该从奇偶性下手，将原式切分为 -b 到 0 进行讨论，再利用对称性，就迎刃而解了。

本题依旧没什么思路。然而这道题不应该。使用求 A 的面积的公式，也就是 1/2 0 到 pi 然后 r^2。没反应过来，其实也可以利用二重积分去算，但是对这类题确实太少见了。

然而在知道这个去化简之后，还是有点不会做。一定要记住，无论对什么区间划分，都是划分为 n 份。所以最后应该是：

$(b-a)/n * (a+(b-a)i/n)$

遇到不会的时候，一定要把这个式子套上去看。

错选为 C，属于低级错误。这道题第一步的时候换元法，抄成了 $s+x/t=u$。

错选为 B。属于低级错误，x^(1-p) 下去的时候，x^p 不应该消掉。

答案是对的，但是方法是错的。这道题不可以把德塔 x 丢进去。正确的解法应该是拆，然后换元前面的。

很多东西不明确。第一是极坐标的面积公式，其实依旧可以用二重积分去推；第二是积分的定义域，定义域一定要看清楚是 0 到 pi/4，而不是 0 到 pi/2。

其实这些题目之前都做过，但是还是不会做。这道题应该用换元法做，令 x=rcosθ，y=rsinθ。主要是破题口问题，计算要小心，这道题计算也不好算。

这道题和第 5 题类似啊，都是凑出来一个 p^2，不同的是，这道题我想复杂了，硬是把那串式子给化简了，但是事实上不用化简直接算就完事了。

这道题做的是对的，但是需要注意方法。对于反常积分而言，不可以直接求导，而是应该利用取一点分开的方法讨论，这个方法在讨论 p 积分那里比较常见，在这里也别忘了。

这道题大体做的是对的，但是，在求变限积分导数的时候，对 -x^2 求导，求出来是 -2x，结果没有和前面的 1/2 运算，就带着这个 2 一直算到了最后。

思路是对的，但是算错了，这道题草稿太乱了，也不知道哪算错了，再算一遍看看。（答案是 1 我算出来 2）

找到了问题，x^2 乘 x 之后，求导还是按照 x^2 求的。

以及最后一步 x/sinx 直接写成 0 了。

本题没什么思路，一刷的时候使用的是把 tanx 变成 secx，但是现在做不出来了。

原来的方法是很容易可以解出来 an+an-2=1/(n-1)，然后就不会做了。

再后面，显然 an < an-1，所以只要把 an 替换为 an-2 就可以做出来了，另一侧则是利用 an 和 an-2 的关系。

瞄了一眼答案，是用换元法，就迎刃而解了（但是做的时候抄漏了 t^2 的 2）

这道题的第一问不适合用华里士公式（循环论证了），而第二问则是没想明白要怎么证明 an 的单调性，事实上只要做差相减即可。

并且，这道题答案给的复杂了，可以先用区间再现消去 x，然后就可以很轻松的证明了（这也是为什么答案直接一上来就把 sinx 凑进去的原因）。

这道题其实有思路，但是最后没做出来，一开始比分部积分是对的，然后就不会做了。

其实原因在于没有考虑 +1-1 的操作。

本题没想出来怎么做（第一问）

答案是利用区间再现。

所以，出现米奇妙妙 1/2 的时候，可以从两方面考虑，一方面是 x 从 0 到 1 的积分，第二是区间再现（尤其是三角函数和周期函数）

这道题做的是对的，利用的是换元法。

不过这道题还可以用拉格朗日中值定理，值得注意。

值得注意的低级错误，最后一步算错了。这道题最后一步算出来是 0 到根号 3，对根号下的 4-x^2 积分，此时可以利用几何法，但是要注意并不是 2/3 *pi。

本题单纯没算完，计算量太大了（三角函数的 4 次方，并且还是 pi/4 到 pi/2），这道题可以采用直角坐标系的方法来算。

注意定义域，x 的定义域是 0 到 pi，而没有 pi 到 2pi，以此类推。

DS 王道选择题 2 刷第 1 章#

错选为 D。考虑一个 n*n 大小的图，我的任务是得到这个图边 1 的入度，那么我只需要竖着遍历一次即可，即时间复杂度是 O(n)

第 17 题错选为 C。显然，执行时间为 1+2+4+8+…+2^t，其中 t<=log2n。前者由等比数列求和公式可得 2^(t+1)-1，将 t<=log2n 代入，显然是 n 的规模。

第 18 题错选为 C。显然，执行时间为 1+2+3+…+t，其中 t^2<=n。前者由数列求和公式可得 (1+t)t/2，将 t<=sqrtn 代入，显然是 n 的规模。

DS 王道选择题 2 刷第 2 章#

本题错选为 D。数据元素的意思是一个 struct，而数据项是数据元素里的数据。

本题错选为 C。这里注意是结点内的单元。

本题错选为 B。注意这里是有序。

并且可以注意，可以先对数组进行排序然后再插入，从而选 D。

本题错选为 D。L 本身就是指针。

本题错选为 C。属于低级错误，没仔细看。

第 33 题错选为 C。注意这道题是 a，e，f，最终的选项不是 a，f，e。

第 34 题错选为 C。属于低级错误，模拟一遍既可以得到正确答案。

DS 王道选择题 2 刷第 3 章#

本题错选为 B。本题的意思是说，出栈的时候，必须 c 是第一个，d 是第二个。所以一开始必须 a 压进去，然后 b 压进去，c 压进去的时候必须立刻出去，然后 d 压进去的时候也必须立刻出去，然后出 b 和 a。这道题的意思不是 c 或 d 是最开始的，而是必须出栈顺序是 cd。

本题错选为 D。漏看了选项。

第 15 题错选为 A。全删的话，需要全部指向 null。其实多考虑几种情况，如果用的是循环双链表。

第 16 题错选为 C。D 这个选项更好，应该是这个意思。

本题错选为 B。对于这类题有几个非常需要注意的地方，那就是调用最后不需要调用，这道题的思想反而在计组的 19 年大题理解了，以前还以为单纯是粗心大意。

对于这类题只需要记住，如果 f(1)=1 而不是调用，则不需要算。绘制出调用树即可（只需要包含 f 的结点）

本题错选为 D。显然栈只允许在一端进行操作。对于 A，例如可以用动态规划。

本题错选为 B。对于 1，显然第一行和最后一行不是；对于 2，需要考虑 0 这个元素。

DS 王道选择题 2 刷第 4 章#

这两题放一起讲，属于同类错误。首先先分别计算出两道题的 nextval，next 数组，然后尤其注意这道题是“滑动”距离，移动到的下标。

其他方面，注意一下下标问题。放在上面的是数字，放在下面的是移动到 xx，注意上面的开始是 0，下面的开始是 1。

DS 王道选择题 2 刷第 5 章#

本题错选为 B。对于 1，显然正确；对于 2，显然根节点并非；对于 3，对于只有一个根节点的树并非。

本题错选为 D。这道题得考虑多种情况，而不是只考虑一种。

本题错选为 D。为想当然的错误。这道题一下子比较反直觉，不过想一下就知道应该是 C 了。

本题错选为 A。首先后序遍历的最后一个 A 是根，所以选项 A 可以直接排除。然后再绘制出完全二叉树的位置，一个个填上去就行了。

本题错选为 D。T 的中序遍历是一个升序序列，也就是原本的顺序是左根右，现在需要的顺序是右根左，所以采用递归交换左右子树，也就是先递归交换最左子树，递归交换右子树，最后再向上传递。对于 C 和 D 显然错误。

对于销毁，修改树而言，后序遍历一般是最优解也是最安全的。先把左右子树处理完之后再向上汇报。

本体错选为 B。线索二叉树的指针可能是指向下一个点，也可能是指向结点。对于 tag 而言，如果 tag==0，那么意味着该结点有孩子，如果 tag==1，那么意味着这个指针指的是下一个点。

本题错选为 A。首先排除 BC。对于 A，无法解决先序前驱问题，对于 D，无法解决后续后继问题。

本题错选为 A。首先辨析概念，什么是度为 m 的哈夫曼树。首先辨析一下什么是度，对于普通的二叉树来说，每个非叶结点最大的度数为 2，对于 m 叉树，每个非叶节点最大的度数为 m。这里这道题指的是 m 叉树。

和后续的外部排序联系起来，这里可能会引入空结点。

本题错选为 C，属于低级错误。显然对于 D，110，1100 重复。

本题错选为 C。对于 T1 而言，显然可能成立可能不成立。对于这类题应该多考虑边界情况。

DS 王道选择题 2 刷第 6 章#

本题错选为 D。对于 D，图可能是不连通的，所以不成立

对于这道题，显然让一个结点孤立无援，剩下的所有节点成为完全图。所以 n(n-1)/2=28，可得 n=8，所以 n+1=9。注意这里不是 n(n+1)。

本题错选为 C。这道题一定要注意，连通分量指的是最大连通子图。

第 14 题错选为 D。第 15 题错选为 D。对于这题，被求入度和删除结点被要遍历所有边影响了。辨析一下，这道题注意是 1 个，如果要求所有结点的入度的话，是 O(n^2+ne)（得注意 n 和 e 谁更大），当然如果用数组记录的话会是 n+e。D 属于经典迷惑项，需要注意。

本题错选为 C。对于 1 和 2 显然是错误的。对于 4，非强连通图显然对于有向图 A->B->C，其只需要一次遍历即可。

对于 2，可以采用返利 A->C，B->C。

对于 4，可以采用 A->B，A->C。

对于判环——

对于无向图，可以采用 dfs/bfs。

对于有向图，可以采用 bfs/拓扑排序。

强连通图：全员两两互通、双向奔赴。

本题错选为 A。对于 1 和 3 显然正确，对于 2，这道题的意思是求所有的每一对顶点，所以是 On3。

本题错选为 D。对于 D，可能。对于 C，是从所有出发的活动里最迟开始时间的最小值，这里不需要再减去什么东西。

本题错选为 C。入度为 0，所以一定是起点。

辨析一下符号的含义，对于无权图，1 代表有线，0 代表无线，对于带权图，具体的值为有线且权值为 w，而 0 只会出现在主对角线，无穷大代表没有路。

显然 1 和 2 是错的，3 是对的，所以是 B。

DS 王道选择题 2 刷第 7 章#

本题错选为 C。对于这道题，想当然没有计算 ASL，想当然导致的错误。

对于这类题，首先先开根号。65025 开根是 255。现在最开始 255 进行折半查找，得出 8 次比较，而因为是最好的情况，所以内部也是有序的，所以也是 8。

对于第 11 题和第 12 题，采用递推求解方式，也就是 Cn=Cn-1+Cn-2+1，代入计算即可。

这个公式算的是总结点数，而不是那一层的结点数。

$N_0 = 0$（空树，高度为 0）

$N_1 = 1$

$N_2 = 2$

$N_3 = N_2 + N_1 + 1 = 2 + 1 + 1 = 4$

$N_4 = N_3 + N_2 + 1 = 4 + 2 + 1 = 7$

$N_5 = N_4 + N_3 + 1 = 7 + 4 + 1 = 12$

$N_6 = N_5 + N_4 + 1 = 12 + 7 + 1 = 20$

对于第 15 题，注意这道题只有一个根节点的二叉树高度是 0。

对于第 16 题，显然 AB 正确。

对于 3：

AVL 树是绝对高度平衡的（左右子树高度差绝对值小于 1），树高严格控制在约 1.44\log_2 n；

红黑树是弱平衡的（最长路径不超过最短路径的 2 倍），树高最高可达 2\log_2 n；

红黑树的优势在于减少旋转开销。

对于 4：左右孩子可以左孩子高为 2，右孩子高为 1，孩子平衡但是自己不平衡。

本题错选为 A。如果是 4，那么 4/2 取高，也就是至少有 2 个分叉，至少 1 个结点，至多 3 个结点；如果是 3，那么 3/2 取高，也就是至少 2 个分叉，至少 1 个结点，但是至多 2 个结点；如果是 5，那么 5/2 取高，也就是至少 3 个分叉，至少 2 个结点，至多 4 个结点。所以可能是 4，5。

第 4 题错选为 A。属于低级错误。显然应该是 B。

第 5 题错选为 D。m 阶 B 树，假设 3 阶 B 树有 1 个关键字（需要注意 B 树的叶节点指的是 null），那么显然是 2 个页结点。

第 7 题错选为 A。一样注意 B 树的叶节点指的是 null，所以假设 m 为很大的数，n 为 1，那么关键字至少为 1，显然可以排除法做出为 D。

第 8 题没做出来。注意 B 树树高只到终端节点，B+ 树树高到信息。

假设是基本空的，也就是 5/2 取高 -1，也就是每层最少 2 个结点。所以当 h=1，总共是 2 个分叉，第 2 层 2* 3 个分叉，第三层 233 个分叉，以此类推。

所以 $54>=2*3^(h-1)$，即 hmax=4。（这道题用的是失败算的，也就是第 h+1 层的总数至少是 $2*3^(h-1)$。

本题错选为 C。根节点已经读入内存，所以不需要花费额外时间去读根。那么假设查找失败为 2017，也就是 2017>=2*7^(h-1)，可得 h=5

本题错选为 D，属于低级错误。显然对于 B 树只支持…

第 23 题错选为 C。删除 260 后，可能用其直接前驱来补，所以也就是把 110 补上去。但是把 110 补上去又导致 100 那里缺了一个关键字，所以访问左右兄弟，发现左兄弟可以拿一个结点，所以变成 90，100； 删除 260 后，从其直接后继补，也就是 280，300 缺了人，左右兄弟都补不了，所以需要合并，合并的时候，显然 A 是对的，B 也是对的。假设是 D，那么……

对于这道题，直接把 D 带进去，会发现必然不可能成立，这道题分析不如直接带！

第 24 题错选为 A。1 显然是正确的，3 显然是不正确的；对于 4，插入的关键字结点最终位于叶节点，不一定，可能通过调整调整上去了，所以综合上述，CD 可以排除。考虑 2，B 树的叶节点指的是最下面一层的空结点，一旦删除那么必然会导致也会节点变化。

本题错选为 C。很小也可以用哈希。

本题错选为 A，属于低级错误。显然对于开放定址法，非同义词之间也有可能发生冲突。

第 8 题错选为 B。为低级错误。如果选择一个很烂的散列函数。

第 9 题错选为 C。为低级错误。

第 10 提错选为 D。解决冲突的时候肯定不在原来的位置。

本题错选为 C，属于低级错误。拉链法构造，mod13 即可，这道题忽略了 1。

本题错选为 A。显然 AB 是肯定正确的，对于 C，不管有没有发生都 +1。

DS 王道选择题 2 刷第 8 章#

原本的：EASYQUESTION

第一轮：EASIONESTYQU（总比较为 6 次）

第二轮：4+4+3

所以总共是 6+4+4+3=17 次。

本题错选为 D。扣个字眼，最。对于 D，可以 shuffle 一下，但是对于 B 却无法解决。

本题错选为 A。注意，即便是最好的情况，也就是 12345678，以 4 开始划分，那么第 1 轮比较 7 次（这仅是第 1 轮的），第 2 轮 123 比较 2 次，5678 比较 3 次；第 3 轮 78 比较 1 次，总计 7+2+3+1=13。

这里我思考成仅 1 轮。

本题错选为 B。快排的第二趟结果，意思是能不能找到 2 个轴。对于这类题一定要想到先找端点最值。对于 A，显然可以以 28 和 72 划分；对于 B，显然可以以 2 和 72 划分；对于 C，显然可以以 2 和 28 划分。

本题错选为 B，属于低级错误，低级到我都不想分析了。

绘制树之后，22 换到最前面，先和 34，53 比较，22 和 53 换，然后再和 46 比较。总共 3 次。

第 16 题错选为 D。我都不知道为啥我会选 D。插到最后一个比较两次啊。

第 17 题错选为 D。我也不知道为啥会选错。

总之上述三题属于同质错误，需要注意的是位于第一个要比较两次。

本题错选为 A，首先是分治过程，先切成 1，2，6，4，5，3，8，7。第一次比较是 1 和 2，6 和 4，5 和 3，8 和 7，共计 4 次比较，排序为 12，46，35，78；第二次比较是 1 和 4，2 和 4，3 和 7，5 和 7，所以总共 4 次比较，排序为 1246，3578；第三次比较是 1 和 3，2 和 3，4 和 3，4 和 5，6 和 5，6 和 7，这部分总计 6 次。所以总共为 4+4+6=14。

本题错选为 C。判断稳定性，简单选择排序不稳定，直接插入排序稳定。由题设可知，先按照低位的排（不要被结构体排序的思维影响了），然后再排高位，所以排除 AC。由于第一次排已经确定了低位的顺序，所以高位不能采用非稳定的排序。综上述选 D。

其实考虑 LSD，这道题意思是就是 k1k2，所以先排 k2 然后排 k1，由于简单选择排序不稳定，直接插入排序稳定，因为 k1 值不能改变 k2 的顺序，所以需要稳定。

第 7 题错选为 A。对于直接插入排序，排序的趟数显然一直是 n-1，不要和其他排序（例如冒泡排序混淆了）

第 8 题错选为 D。显然可以排除快排和冒泡（冒泡默认优化）。

第 9 题错选为 D。冒泡排序即便已经 ok 了，但是还是得再扫一次去判断。

第 10 题错选为 B。这道题的意思不是说选项里面的 x 和 y 有相同的，而是问其本身是不是相同的。所以 A 显然。对于 B 的基数排序，不基于关键字比较，而是基于分配与收集

第 11 题错选为 A。堆不是查找的。

第 12 题错选为 C。对于 4，根节点的所有子树可以并行。

本体错选为 C。对于 1，2，3 都可以，而对于 4 和 5 利用了随机访问。

本题错选为 D。属于很低级的错误，其实也不想解释。

第 4 题错选为 C。首先计算初始归并段，由于能容纳 600 个记录，所以 375000/600=625，625 个归并段一直除以 5 就好了，得到 4 趟归并。

第 5 题错选为 B。显然 D 是错的（）我也不知道为什么要选其他选项。

本题错选为 A。最佳归并树是外部排序得第二步。应该是 B。

计组王道选择题 3 刷第 1 章#

本题错选为 B。完整的计算机系统=计算机硬件 + 计算机软件，计算机硬件=主机 + 外设，主机=CPU=运算器 + 控制器 + 存储器等

本题错选为 B，属于低级错误。P=10^15，仔细算，其实 B 和 C 是一个意思。

计组王道选择题 3 刷第 2 章#

本题错选为 A。错误原因在于没有注意到这是 int 型变量，所以就随便想了一个值去做。

本题错选为 B。属于低级错误。这道题的意思是说对阶后的结果，也就是算 y 具体的 2 进制是多少。而我却以为是问 y 的前 8 位是多少，恰好 y 对出来是 2^6，所以就直接选了 A。

这道题应该是 6+127=133=128+5。

这道题做的是对的，选 D，需要注意，左归和右归的意思是保持小数点不动而动数字。

错选为 D。本题错误原因在于没注意是 int，将之当成无符号数去算了。

这道题是背题惹的祸。注意非规格化浮点数的表示，非规格化浮点数是 0.f*2^-126，注意不是 -127。

计组王道选择题 3 刷第 3 章#

本题错选为 D。Flash 可以在一些嵌入式当交换内存。

本题错选为 C。属于背答案背错了。没再次分析导致的，这道题高位是 A0，低位是 A15，注意。

本题错选为 C。地址映射应该是操作系统干的，而装入程序干的事把东西装进内存。

本题错选为 A。属于低级错误，快表即 TLB 应该在 CPU 里，我也不知道为啥我会把 D 叉了。

本题错选为 D。主要是很阴，这道题的虚页号没有 H，注意。

计组王道选择题 3 刷第 4 章#

本题错选为 D，属于背书问题。

本题错选为 D，属于低级错误。对记号的理解脑子抽了。

变址寻址的寄存器编号 X，取出其数是 (X)，然后加上地址码之后是操作数地址的地址，所以再加一个括号。

如果是变址寻址本身的地址，就不需要加最外面的括号了。

本题错选为 D。其实这道题也很阴，是按字编址，而不是按字节编址，所以这道题就是 +1，而不是 +2，所以也就是到 4000H+1H+6H=4007H。

本题错选为 B，和第 7 题一样的脑抽问题，不多说了。

本题错选为 D，属于低级错误。最后应该存到 eax 里。

计组王道选择题 3 刷第 5 章#

本题错选为 A。本题理解错题目意思，想成不透明了，看到 A 就直接选了 A。

本题错选为 D。对于 C，需要考虑条件转移，条件转移不一定改为目标地址。

本题错选为 D。属于低级错误，通用寄存器是可以有很多功能，但是肯定是不可以代替 IR 的。

本题错选为 C。可以考虑超长指令字的情况。

辨析一下位数与各种码之间的关系：

• 与机器字长相同：ALU，通用寄存器
• PC=总容量/IR=MAR

第 12 题错选为 D。注意这里是单总线结构，想成单周期了。由于只有单个总线，所以显然数据冲突会很严重，但是逻辑控制并不复杂。

对于单周期的数据结构，控制逻辑就很复杂了。

第 13 题错选为 B。背书题，属于低级错误。

本题错选为 B。注意题目描述，形成微程序入口地址的是什么。

本题错选为 D。注意指令和微指令的区别。

本题错选为 A，属于背书题。访问主存的校验错误是终止，因为访问主存都错了，那后续就不可能继续运行下去了。

本题错选为 A，属于低级错误。显然在中断响应的时候应该通过硬件实现。

本题错选为 B，属于低级错误。显然对于 D 而言，故障是返回到当前指令，陷阱是到下一条指令，终止是不回到原来的指令。

第 13 题错选为 A。因为没看见采用转发技术。

第 14 题错选为 B。即使是无条件转移指令，处理机也是笨笨的先执行原本的东西，其实就是流水线自动的 +1。

本题错选为 D。流水功能段的意思是那一段，那一段并不会被缩短，超标量的方式是多个流水功能段时间并行上执行。

本题错选为 A。因为 I2 访问 R2，所以 I3 要被阻塞。是要谁被阻塞，而不是看谁导致谁阻塞。

本题错选为 C。单周期 CPU 指的是单指令执行 CPU，所以要求所有指令的执行时间都小于等于那个时间执行最长的指令（因为每个时间段的长度得保持一致。

而对于 B，不只是要从前面考虑后面，也要从后面考虑前面。显然 cache 缺失率越大，导致 CPI 越大。

本题错选为 D。双核 CPU 是空间并行的计算。

此外，执行核心=运算核心。

总结一下这一整章比较冷的只是：

• SIMD 的应用有向量处理机
• MIMD 的应用有多计算机系统，多处理器系统
• 硬件多线程技术
  • 细颗粒度：每个时钟周期换一个线程（非真并行，非真硬件技术）
  • 粗颗粒度：高延迟的时候换一个线程（非真并行，非真硬件技术）
  • SMP 同时多线程：指令级/线程级并行

计组王道选择题 3 刷第 6 章#

本题错选为 C。这里的总线时钟频率就是时钟周期的倒数，所以由于一个总线周期传输 4B 的信息，一个总线周期占用 2 个时钟周期，所以一个时钟周期可以传输 2B 的信息，所以最后就是 2B*10M=20MB/s。

本题错选为 A。这道题算的是理论最大的传输速率，不用考虑题目后续给的干扰条件。也就是说要跑满。

本题错选为 B。可以采用同步方式，但是发挥不出来性能。

本题错选为 A。按需分配的意思是说通过握手信号争夺总线使用，而不应该从 CPU 角度考虑出发。对于 A，类似 DMA 操控。

本题错选为 C。显然和 CPI 总线之间交流也不需要预约什么的。而打印机很慢。

计组王道选择题 3 刷第 7 章#

本题错选为 A，属于低级错误。这道题属于背书题，IO 接口中的寄存器应该是控制寄存器，状态寄存器和数据缓冲寄存器（通用的）。对于地址寄存器是 DMA 独有的。

本题错选为 B。属于背书题，对于 B，IO 指令是机器指令的一类，例如 IN/OUT；而对于 D，得分为统一和独立编址讨论。

本题错选为 C，做这种题的时候需要画图，状态信息应该是 CPU -> 打印控制接口 -> 打印机，所以中断请求信号应该是 CPU 到打印控制接口的。

本题错选为 A。中断被分为中断响应周期和中断处理周期，对于前者是通过中断隐指令将允许中断触发器置零，对于后者才是通过关终端指令的。

本题错选为 B。这个属于重难点也是易错点：

对于 A，中断请求优先级由设备决定。

对于 B，CPU 对多个中断请求响应是由硬件决定的，也就是中断优先级。

对于 C，最开始执行的一定是根据中断优先级。

对于 D，考虑硬件 1>2>3，而中断屏蔽字为 2>1>3，三个同时来，先执行 1，1 在执行中断处理程序的时候会开中断，此时 2 可以打断 1…

本题错选为 A。后处理的目的是通知 CPU 是否 OK，由操作系统决定是否传送下一块/改变进程状态/原来是否校验正确。

本题错选为 A，注意这里的表述是流水段。

本题错选为 A。DMA 控制分成三种方式，停止 CPU 访问，周期挪用和交替访问。本题采用周期挪用的方式，所以 A 是对的，C 是错的，如果采用停止 CPU 访问的方式的话，那么 A 是错的，C 是对的。

本题错选为 C。时序理解问题。对于中断而言，CPU 在一条指令结束的时候才去检测中断，然后检测到这个中断了当处于开中断的时候就去执行，而不是 CPU 在指令执行过程中就在那里检测终端。对于 D，CPU 发给终端控制器信号。

计组王道选择题 3 刷 - 总结#

总的来讲，细节问题还是很多，理解问题比操作系统那块要大不少。

OS 王道选择题 3 刷第 1 章#

本题错选为 B，应该从极端情况思考，显然进程数如果特别多的话，可能会引发死锁等问题，而对于 B 而言，在早期的多道程序处理系统有应用。

错选为 A。4 是想多了，想成特殊情况例如原本进程出错需要操作系统持续接管。

错选为 C，属于低级错误。trap 指令是异常的第二类，即自陷。

本题错选为 C。这道题主要是围绕概念的理解。

发生系统调用 = 系统调用的调用过程，运行在用户态。

执行系统调用 = 系统调用的被调用过程，运行在内核态。

所以，B 等价于执行系统调用，C 等价于执行一般调用。

本题错选为 B，这道题属于背书题，即下面这张图：

这张图属于薄弱点，需要着重注意。

OS 王道选择题 3 刷第 2 章#

本题错选为 A。生命周期连续的含义指的是执行态阶段，显然在非执行态阶段，其生命周期并不连续。对于 D，总的来讲不具备可再现性。

这道题需要着重理解，错选为 A。只有 CPU 才能改变运行状态。

举一个极端的例子，假设我某个程序不需要使用打印机，但是我故意写一个程序申请一台打印机（即使我全程都用不到），恰好我在申请的时候是有资源的，所以我不需要进入阻塞态，但是其他人一定要打印机的就不一定了。

辨析内核级线程以及用户级线程，对于用户级线程已经比较明晰了，但是对于内核级扔需要再在意。本题错选为 B，是把这道题看成了用户级线程。对于 A，由于是内核级线程，所以也是得内核切换，开销大；对于 B，在用户级线程的时候，被阻塞了那其他所有同一个进程内的线程都得被阻塞，但是内核级并非。

本题错选为 A。知识迁移不够到位，对于 3 是内存管理的只是，对于 4 是文件系统的知识。很显然后两者都是按照进程划分的。

想当然认为这道题的输入、输出设备共 1 台，错选为 C。

本题错选为 B，属于低级错误。忽略了优先级从高到低这个条件，所以选错了。由于是从高到低，所以插入的时候是 O(n)，拿的时候是 O(1)。

第 8 题错选为 C，第 9 题错选为 A。

这两题放一起讲，对于第 8 题，看错题目了，这道题是不属于临界资源，显然 B 不属于临界资源。

简单来说这道题看到临界资源和 C 就直接选了，而没有再考虑更多。

第 9 题没看 B 就直接选了 A，对于磁盘，是操作系统协调的，可以类比 SSD，SSD 肯定不是临界资源。

本题错选为 B。属于没读完题目直接选 B 的低级错误。

本题错选为 A。对于 C，想成破坏循环条件了。只是区分优先级并不是区分申请顺序。

本题错选为 A，单纯是因为想当然没有画图。

纯懒得算。n*(k-1)+1<=m，然后把 nk 解出来就好了。

OS 王道选择题 3 刷第 3 章#

本题错选为 D。对于 D，应该从 2 方面理解：

但是假设目标程序总共要 0-300 号，把 0-100 号装入第一部分内存，把 200-300 装入第 2 部分内存，这不就需要了吗？

反驳这个从两方面入手，对于传统的动态重定位，也就是整个 CPU 只有一个动态重定位寄存器，比如得连续放；即便采用分页，分段，也是按照分页规定的大小分配，根本不需要知道目标程序是什么。

本题错选为 B。最佳使用算法是每次选择都要重新排序，根据顺序索引走的，而不是随机索引。

本题错选为 B。对于 B 是共享页表干的，本题应该选 A。

本题错选为 A，很经典的做对选错。

本题错选为 B。单用户连续分配指的是只有 1 个用户，所以不适合多道程序设计。

本题错选为 C，页内无需指定。

本题错选为 D，这道题的意思是 1 段最长，而不是总共。

页故障的意思等同于有效位为 0。本题错选为 D。

本题错选为 C。便于动态链接是段表的特点，请求分页间接扩充内存（因为可以切）

本题错选为 B。实际上将模型绘制出来，CPU 和内存的交换速度不会影响内存和磁盘的交换。

错选为 C。把换出进程挂在页面缓冲的末尾，即便可以很快的恢复，但也是缺页。

OS 王道选择题 3 刷第 4 章#

错选为 C。异步 IO 解放的是 CPU 的生产力。

错选为 C。打开文件意思是 open，这道题的 C 只说了一半。

错选为 A，本题属于背书题。超级块是用来描述文件系统的全局配置与控制信息。

错选为 C，属于低级错误，不解释了。

OS 王道选择题 3 刷第 5 章#

本题错选为 A。A 肯定是错的，物理设备是多少就是多少个，对于 C，用户感觉在使用多个逻辑设备。

第 13 题错选为 B。操作系统决定的，所以应该是绝对号。

第 14 题错选为 A。想当然错了其实，这道题是背书题。选 C。

第 3 题错选为 D。背答案导致的错误，其实没什么好说的。

第 4 题错选为 B。缓冲技术的缓冲池是在内存，而缓冲井是在外存。

本题错选为 B，这道题是背书题，SPOOLing 技术应该是输入/输出井，输入/输出缓冲区，输入/输出进程。

本题错选为 D。对于打印机启动程序，它是初始化打印机的。显然这道题应该选 C。

错选为 A。注意这里是引导，而不是分区。

OS 王道选择题 3 刷 - 总结#

回顾了一下，其实感觉低级错误还是偏多，真的自己理解上的问题并不是很多。

计网王道选择题 3 刷第 1 章#

本题第 1 空错选为 C，最快的应该是电路交换，尽管电路交换需要时间建立连接，但是其独占了物理链路，所以时延最小。

本题错选为 B。语义的意思是说每一个位置代表着什么，例如 ACK 含义是应答等。

本题错选为 D，属于低级错误。这里是 OSI 参考模型，OSI 参考模型的网络层可以提供无连接服务和面向连接的服务，而不是传输层。

会话层的作用是同步，可以理解为打断点；表示层的作用是数据格式加密，数据格式转换等。

这道题的第 3 空错选为会话层，回到本行开始的位置这件事完全就不是“网络”需要参与的，所以应该是应用层做的。

这么理解就会清晰很多。

本题属于低级错误，没看完题目就选了。网络体系结构不需要完成的是实现细节。

计网王道选择题 3 刷第 2 章#

本题属于低级错误，这道题没有细想 D 的意思，直接选了 C，C 属于背书错误，信号传输率指的是比特，而不是波特。

这两道题一起讲，上面那题是侥幸做对的。

在没有明确说一码元等于多少比特的时候，不需要考虑奈奎斯特定理，而第 12 题其实有暗示是 2 进制，所以说了，除了香农定理之外也要考虑奈奎斯特定理。

本题属于“背答案”，没有细想，在那里直接背答案，所以错了。

简单来讲，信号传播速度指的是信号传输率，也就是 RTT 相关，本题考虑的是发送时延。

计网王道选择题 3 刷第 3 章#

本题属于低级错误，把错误看成选择正确的一项，然后选了 B。

这道题知道 802.1q 帧需要多一个 4B 的 VLAN 位，但是把最短帧长多少，和最长帧长需求是多少搞混淆了。

对于 10Mbps 的以太网，硬性要求是最少 64B，不需要考虑其他东西，而最长数据帧是 1500B 恒定，对于 802.1 帧最长是 1518B（662n4），对于 802.1q 帧则是要多一个 4B，也就是 1522B，但是最短都是 64B。

理解向后兼容，这道题就很容易选出来 A 是对的了。

有点忘了 CSMA/CA 协议以及其帧，回顾一下。

CSMA/CA 协议是先等待 DIFS 的帧间间隔，然后再进行一系列操作，所以 A 肯定是错的，这道题经典没看完所有选项就选了。

然后对于后面一题，很显然是忘记了。

SIFS 是短帧间间隔，DIFS 是分隔每个会话的相当于，所以最后的长度应该是 SIFS<PIFS<DIFS，再不济也应该读题。

这道题是纯粹的脑子抽了，依旧赶进度没仔细看题，能选出来按照用户名划分。

本题错选为 D，主要是没有认真思考导致的。显然广域网采用点对点技术，而局域网一般采用 CSMA/CD 等方式。提供的服务都是转发数据，没什么区别，只不过一个数据量大一个数据量比前者而言相对小而已。

背书题，错选为 B，PPP 协议是先 LCP 然后再 NCP，前者是配置数据链路选项协议，后者是配置网络层协议。

计网王道选择题 3 刷第 4 章#

属于低级错误，很显然这道题没看清楚 D 选项，不可能存在 256。

属于低级错误，把 IP 划分为子网显然减少了网络数量（因为需要额外的网络号和广播号）。一个子网内如果没配置 VLAN 的话，是一整个广播域。

属于低级错误，CIDR 是路由聚合技术，显然不是 B。

属于低级错误，没看到最前面的 12 和 13。

我其实不知道这道题为什么做错了，子网掩码为 255.255.240.0，显然中间是 1111,0000，因为 240=255-15。对于甲，也就是 211.71.136.23，其第 3 组数是 1000,1000；对于乙，也就是 211.71.130.25，其第 3 组数是 1000,0010。显然这两个第三组数的前 4 位数是一样的，所以在同一个子网内，所以通过 ARP 协议拿到乙的 mac 地址之后然后直接转发。

这道题错选为 B，混淆了 ICMP 差错报文发送条件。对于 TCP/IP 协议族的网络层，有差错校验的功能（没有差错控制），假设有数据错了，直接丢弃等待计时器归零重传即可。但是对于 TTL，当路由器发现 TTL=1 时，TTL-1 后，发现 TTL=0，所以直接丢弃，这时候是需要发送时间超过报文的。

这道题错选为 B，知道 C 是对的，怎么可能会不选 A，所以很猎奇，也不知道自己那个时候怎么想的。

属于低级错误，77=64+13 而不是 +11。

理解错题目意思了，题目里已经给了 /27，那就直接按照 /27 来算，所以应该选 D 而不是 B。

属于背书题。

OSPF 协议使用 Hello 报文问候，使用 DD 报文查询数据库，使用 LSU 报文链路状态更新，使用 LSR 报文向邻居请求某些链路的状态信息。

而 BGP 协议才是通过 OPEN 报文问候，Update 报文更新，keepalive 和 notification 就不多说了。

计网王道选择题 3 刷第 5 章#

对于第 14 题，再次辨析一下 ——

• 重传计时器：这个不必多说，指的是一段时间内没收到 ACK 激活
• 保活计时器：指的是建立 TCP 连接之后，长时间没有任何通信，发送问对方是否要持续
• 时间等待计时器：指的是客户端在收到服务端发来的最后一次 ack 后，等待 2MSL 时间
• 持续计时器：指的是窗口为 0 的时候探测

对于第 15 题没看懂题目意思，同时其实对 TCP 的理解依旧不够深刻。

TCP 的序号字段一个需要就代表 1B，而不是需要考虑首部等东西。

所以由 2^32B/40Gbps 即可得到答案（因为题目里说充分利用，所以不考虑首部）

这道题值得辨析。

对于 TCP 建立阶段，客户端消耗一个 seq 建立连接，同时服务端也要消耗一个 seq 来回复 ack。对于这道题，也就是 seq=211 的时候，不发送数据，而 seq=212 的时候，才携带第一个数据。

对于最后阶段，客户端得消耗一个 seq，发送 fin 给服务端，服务端回复一个 ack 后再自己发自己的，最后服务端不发了，给客户端发一条信息，客户端收到这条信息之后，进行第 4 次挥手，注意，由于消耗了一个 seq，所以最后得用倒数第二个的 seq+1 进行发送（尽管不携带信息，理论上不消耗 seq，假设后续还有数据，那么从这个 seq+1 开始）。

所以，由于最终 seq 是 985，所以第一次挥手是 984，所以有数据的最后一个是 983。

综上所述，最后答案是 983-212+1=772。

属于低级错误，错选为 D，不多解释了。

辨析一下这几个时间点是什么。

对于四次挥手，客户端第一次挥手进入的等待时间叫 fin_wait_1，服务端收到 fin 后直到它发完数据的时间，啥也不是；客户端收到服务端的 ack 之后（也就是第二次挥手），等待的时间叫 fin_wait_2，服务端发完所有数据后，第三次挥手，服务端进入 close_wait 阶段，而客户端收到这个信息，等待最后 2msl 的时间，叫做 time_wait 阶段。

这道题也值得研究，涉及到要不要考虑捎带 fin 的问题（本题错选为 C）

理论上，是需要考虑捎带 fin 的情况，但是这道题第二个发送数据的窗口是 2000B，如果需要捎带确认，那么需要多一个序号，而已经达到了上限 2000B，所以得额外需要一个 RTT 的时间来发送 fin。

计网王道选择题 3 刷第 6 章#

属于语文阅读理解，得从 TCP 还没开始的时候算。（错选为 A）

计网王道选择题 3 刷 - 总结#

总的来讲，为了赶进度导致很急（尤其是 3.6 和 4.2 节，都是匆匆做一遍然后也没检查，直接对的答案，做的也很赶）

对于其他的其实还行，主要问题还是集中在遗忘和概念理解上。

408 2009 真题 2 刷#

• 分数为 148

本题应该选 B。

分析 A，对于栈在计算机的应用主要是递归函数，自身的应用可以是求后缀表达式，dfs，先序遍历，中序遍历，后序遍历。

分析 B，自身的应用例如树和图的层次遍历。在操作系统中，除了缓冲区之外，还可以在公平竞争的调用队列（比如说 RR 调度，比如说读写公平的读者写者问题）

分析 C，树可以用来表示文件系统，也可以作为关系数据库的索引（例如 B+ 树）

分析 D，图在操作系统里也可以表示文件系统，应用例如资源分配图，进程前驱图（和拓扑排序相关）

本题考察的内容在王道书 3.3 小节。

本题应该选 C。

队列是 FIFO，出队顺序等于出栈顺序，所以：

a

a，b

a，c

a，c，d

a，e

a，e，f

g

顺序如上所示，所以最长是 3。

这类题的变式例如受限队列，也就是两端均可插入但只有一端可以出队，或者只有一端可以入队但是有两端可以出队。主要是要看清楚题目意思，不会难。

还有的变式就是判断求后缀表达式值的时候，栈的大小，需要注意数在哪，求后缀表达式的时候，默认双操作符的数是：

后弹出来的 op 先弹出来的。

本题应该选 D。

遍历方式主要有 4 种，先序遍历对应根左右，中序遍历对应左根右，后序遍历对应左右根，层次遍历没有对应的。

但是需要注意一个特殊情况，也就是根右左，注意到根右左是后序遍历左根右的逆序。

当然对于其他情况，例如右根左等也需要具体题目具体分析。

本题显然是右根左的情况，所以是 RNL，也就是 D。

本题应该选 B。

树这块考研大纲主要有以下几类：

• 二叉树
• 线索二叉树
• 森林
• 二叉排序树
• 平衡二叉树
• 红黑树
• B 树/B+ 树
• k 叉哈夫曼树

对于树的形态辨析，主要是集中在二叉排序树（二叉搜索树），平衡二叉树，红黑树，B 树/B+ 树。

对于二叉排序树，其只需要满足按照中序遍历为不减序列即可。

对于平衡二叉树，则需要满足整棵树左子树和右子树高只差的绝对值小于等于 1 即可，可以注意最少结点的平衡二叉树公式，即变式的斐波那契数列。对于高为 h 的 AVL 树，和标准斐波那契数列的关系是 N(h)=F(h+2)-1。标准斐波那契数列是 0,1,1,2,3,5,8,13,21。例如对于高为 5 的平衡二叉树，其最小应该是 13-1 即 12 的高度。

对于红黑树，则是 12 字咸鱼口诀：左根右，根叶黑，不红红，黑路同。注意红黑树查找略比平衡二叉树慢，红黑树相交易平衡二叉树的优化主要在减少了频繁调整上。

对于 m 阶 B 树，一个结点最多可以有 m-1 个值，除了根节点之外，最少则是 m/2 向上取整 -1。

对于 B+ 树，必须得查找到最后一层，且可以按照顺序查找的方式查找。

此外还需要注意，红黑树，B 树，B+ 树的叶子结点都指的是空节点。

本题应该选 C。

什么是完全二叉树，完全二叉树的意思是说以父亲表示法排列，必须从头开始连续到尾巴。

这类题需要考虑两种情况，第一种是第 6 层是最后一层，第二种是第 7 层是最后一层。求最多一定是第 7 层是最后一层。

完全二叉树结点的计算公式为：2^h-1，前 6 层是满的，那么也就是 2^6-1=63。对于第 7 层，当第七层是满的时候，应该有 2^(7-1)=64 个结点，为了让上一层有 8 个叶节点，那么也就是 64-8*2=64-16=48。

所以，总共应该是 63+48=111，选 C。

本题应该选 B。

森林和二叉树的关系，主要用特值法求解。

但是有两个需要注意，森林的先根遍历=二叉树的先序遍历，森林的后根遍历=二叉树树的中序遍历，普通树的先序遍历=二叉树的先序遍历，普通树的中序遍历=二叉树的中序遍历。

本题的关系如图所示，可能有这四种关系。根据左孩子右兄弟可以进行如下分析：

关系 1，u 是 v 的祖父

关系 2，u 是 v 的父亲

关系 3，u 是 v 的叔父，即 u 与 v 的父亲结点是兄弟

关系 4，u 是 v 的兄弟

综上所述，1 和 2 正确，3 错误，所以选择 B。

• A.只有 1
• B.只有 2
• C.1 和 2
• D.1 和 3

本题应该选 A。

做这类题一般是用排除法和特值法。

什么是无向连通图，无向连通图的意思是说从任意一个结点出发都可以到达另一个结点。

对于 1，由于所有结点都必须和别人互通，所以图中的每一条边，都恰好为图的顶点度数之和贡献了 2 点（握手定理）

对于 2，如果边数=顶点数 -1，在它是无向连通图的前提下，它是一棵树，一棵树显然是连通的，所以 2 错了，如果想让他正确，应该改为边数大于等于顶点个数 +1。还有一点需要注意，如果没有无向连通图这个前提，只说了边数大于等于顶点数 -1，不能判断其是否连通，因为可以一堆点自己排列，然后其他点使用最大的连接方式。

对于 3，只有一个顶点的图也是连通图。

本题应该选 D。

D 是 B+ 树的特性。关于 B 树和 B+ 树的区别，主要在于：

m 阶 B 树一个结点内关键字最多 m-1 个，而 B+ 树则是 m 个，B 树最少是 m/2 向上取整 -1，而 B+ 树则是 m/2 向上取整。

B+ 树非叶结点的关键字都只是为了查找，数据都在叶结点，所以必须要查找到最后一层，且 B+ 树支持顺序查找。

本题应该选 A。

堆采用树的父亲表示法，用于排序（而不用于查找）。对于堆排序，首先先花费 On 的时间建堆，然后花费 nlogn 的时间排序。

需要注意，排成升序序列采用大根堆，反之则采用小根堆。

堆插入的时候是在最后一个位置插入，如图所示进行交换。

除了这种考法之外，还可以考比较次数。对于比较次数，尤其需要注意，假设 a 被换上来的，那么即便最终不会再换上去，也需要再和可能的比较一次（这个需要记住）

本题应该选 B。

第二趟排序问题可能会考大纲里的所有排序，这里就不列举了。

重要的是一定要记清楚每一个排序的过程是什么。对于这道题：

11,12,13,7,8,9,23,4,5.

对于冒泡排序，是“沉底”，也就是每次都交换出来一个最大的到最后或者最小的到最前，舍去。

对于直接插入排序，是本题的结果。

对于选择排序，简单选择排序是每次选择一个最小的数放在开头，然后开头标记 +1（或者最大的放末尾），舍去。

对于二路归并排序，本题总共是 9 个数，所以应该切分为：11,12,13,7；8,9,23,4,5，然后再切分：11,12；13,7；8,9；23,4,5，然后再切分变成只有一个数，然后按照从后向前的顺序依次归并。显然这道题也不是，舍去。

考的比较多的还有希尔排序和快排。

还有一些其他考法，例如比较次数，交换次数等的比较，一定要分清楚比较次数和交换次数。

本题应该选 C。

冯诺依曼计算机指令和数据都以二进制的形式存放在存储器中。

对于 A，指令操作码的译码结果意思是把这条指令翻译成具体的意思，例如从内存 0x00h 中取出一个数（直接寻址）指令译码和数据毫无关系。

对于 B，指令的寻址方式有 2 中，顺序寻址和跳跃寻址，数据的寻址方式有 10 种，隐含寻址，立即数寻址，直接寻址，间接寻址，寄存器寻址，寄存器间接寻址，相对寻址，基址寻址，变址寻址，堆栈寻址。跳跃寻址和相对寻址是类似的，所以不可以通过这两个来区分。

对于 C，以指令流水段的不同阶段举例，一条指令需要经过五个阶段：取指令，分析指令，执行指令，访存和写回。显然对于一个取数指令，在取指令的阶段得到指令的数据，在分析指令的过程得到其含义，而通过这个含义去执行取数指令（简单的访存指令没有执行阶段），通过访存得到数据，从而找到数据。

对于 D，显然错误。

还可以注意冯诺依曼计算机是指令流驱动。

本题应该选 D。

显然排除 A 和 B。127-9=118=7*16+6，所以选 D。

这类题除了这么考，还可以考更深的数的扩展，数是否溢出，精度是否丢失，或者考 OF，ZF，SF，CF 的值。

还可以注意，对于很多时候，都可以使用十进制计算来快速判断，而不是在那里二进制算半天。

本题应该选 D，这题先跳过，因为 2009 年之外，其他年份都是考 IEEE 浮点数。

本题应该选 C。

这类题在刚开始学计组的时候是难题，但是放在现在一定是简单题。cache 有 16 块，采用 2 路组相联，所以时 16/2=8 组，也就是需要 3 位。块内地址有 32B，也就是 5 位。

主存单元 129 号，意思不是块，而是考虑了块内地址的（这个要和多少号主存单元区分）。

129=1000,0001B，前 3 位为 100，所以是第 4 组。

本题应该选 D。

4KB/(2KB)=2

64K-4KB=60KB。

60KB/(4K*4bit)=30

这类题考起来也不会很难，难一点的需要将 16 进制转换为 2 进制进行分析。

需要注意地址线可能会用不满，而且也需要根据题目具体题目具体分析地址线高位是 0 还是低位是 0。

本题应该选 C。

PC+“1”是硬件自动完成的，这道题的“1”是 +2，所以执行 2000H 的时候，地址是在 2002H，偏移字段为 06H，则 +6H 即可，也就是 C。

但是要注意反套路，有些很神秘的题目是按字编址，

本题应该选 A。

辨析 RISC 和 CISC，其实也就是辨析 MIPS 和 x86 两套东西，这个和计组大题强相关。

本题应该选 A，指令流水段根据最长的来定。

同类知识点还可以注意指令流水段的相关概念，超标量技术，超流水线技术和超长指令字技术。

对于超标量技术采用的加硬件的方法，并没有缩短流水段，对于超流水线技术才是缩短了流水段。

知识可以迁移到单周期 CPU，单周期 CPU 由于要保证间隔相同，所以取决于最长的指令，也因此单周期 CPU 不适合乘法，因为乘法消耗太大了，所有东西都得为它让路。

本题应该选 D。

这道题考的是背书，和 17 题一样，本质是两种架构的辨析。

本题应该选 B。

本题时钟频率为 10MHz，一个总线周期传 4B 信息，一个总线周期占 2 时钟周期，那么 1 时钟周期传 2B 数据，所以带宽为 2B*10M=20MB。

带宽计算，这种题其实非常坑，要非常小心去做。除了要分清楚时钟周期和总线周期之外，还要注意一些很恶心的东西，例如 24 年和 25 年的带宽计算。前者是给了一堆无用条件，后者是说了一大堆无用条件然后信息在括号里。

本题应该选 D。

缺失 50 次，也就是命中 1000-50=950，950/1000*100%=95%

cache 缺失次数，缺失率等，这类题考起来也很阴。主要可以考以下几个方面：

• 一维数组
• 一维数组一条指令访问多次该数
• 二维数组
  • 正常的二维数组
  • 比 cache 小的二维数组
  • 行比 cache 行小的二维数组

此外还需要注意到地球的是命中率还是缺失率。

本题应该选 A。

外中断与内中断，中断与异常。

这类题考频非常高，除了像这样直接的考之外，还可能会结合具体场景，例如指令要不要返回当前指令。

• 内中断（异常）
  • 故障：缺页异常，除 0 异常（需要返回当前）
  • 自陷：trap 指令，需要返回下一条
  • 终止：访问主存错误
• 外中断：请求设备，时钟中断

本题应该选 D。

处理机是否可以并行，需要注意并行和并发。并行指的是真正的同时，对于单处理机，进程与进程只能并发，所以选 D

此外可以注意，多道处理程序具有并行和并发的特点（尽管并发就足够了），单处理机系统也可以是多道程序处理系统。

本题应该选 D。

本题考察的是进程调度算法，要对每一个算法有印象。

对于高响应比优先调度，要记住公式：1+ 等待时间/运行时间

RR 必然是抢占的。

本题应该选 C。

8 个打印机，假设有 m 个进程，每个分 2 台，8/2=4

这类题考察过很多次，不难但是要注意表述，有可能问的是可能会发生死锁 K 的最小值，也可能问的是不会发生死锁 K 的最大值。

本题应该选 A。

分区分配的意思是提前划分好内存以供使用，可以是同样的长度，也可以预先分配为特定的长度。

本题应该选 C。

地址长度 32 位，段号 8 位，所以段内地址有 24 位，所以一段最长是 C。

分页管理，分段管理和段页式管理。和计组类似的，这类计算刚上手很难，但是到现在这个阶段应该要不成问题了。

本题应该选 B。

本题考的也是概念，要分析清楚三种文件组织方式。

连续结构可以随机访问，但是扩展很不方便。

链式结构分为隐式链接分配和显式链接分配，对于前者不需要额外的外部空间去存储信息，但是每个块最后需要存储指针信息，对于后者则需要额外使用静态链表存储，常用于 FAT32 系统。

对于链式结构有三种，单级，多级以及混合索引，其中混合索引常用于 UFS 系统。

本题应该选 A。

需要增加，105 向后一定是 110，然后是 170 等。这道题应该选 A，对于 B 方向反了，对于 C 是 C-SCAN，D 啥也不是。

这类题不难，但是要小心翼翼，看清楚题目意思（就是很恶心），首先辨析 SCAN，C-SCAN，LOOK 和 C-LOOK，SCAN 是从 0 到最大（假设一开始是从 0 开始），然后从最大到 0，C-SCAN 则是从 0 到最大，然后还是从 0 到最大，LOOK 则是看当前的值来决定（对 SCAN 的优化）

但是，比较恶心的是：有的时候真题会混用这两个概念，但是大体上都不会混用。如果题目里实在没给前者的条件（最大），那么只能根据后者来处理，因为王道书上有这么一句，前者在实际工业意思是后者。

本题应该选 A。

这类题就是辨析概念。对于 A，需要辨析一下 UFS 和 FAT 系统的区别。UFS 的文件访问控制信息肯定是不存在 inode 里的，而是存在具体信息里；对于 FAT 则是存。

文件分配表得分为系统文件打开表和进程文件打开表，对于前者一整个操作系统只有一张，对于后者一个进程有一张，且可以自行管理权限。需要注意，对于线程而言，没有自己的打开文件表，而是依托于进程存在的。

用户口令表是访问控制信息的一种。

系统注册表是软件在操作系统留下的东西。

本题应该选 B。

辨析软连接和硬链接。这类题主要是记忆，考过挺多次的。

F1 软链出去 F2，那 F2 就是一个独立新的，计数为 1，而 F1 硬链接出去 F3，所以 F1 和 F3 都是 2，删了 F1，F2 独立，不变，所以是 1，F3-1，所以也是 1。

本题应该选 A。

面向程序员的是逻辑号，这样不需要每次写程序都需要根据电脑修改。

本题应该选择 B。

这类题很恶心，纯记忆的题，关于 OSI 模型和 TCP/IP 模型有很大的不同，主要体现为：

OSI 模型数据链路层就要实现差错控制，流量控制；网络层需要实现拥塞控制，并且可以无连接和有连接；会话层管理打断点和通信；表示层管理数据格式转换，加密。

本题应该选 B。

2Wlog2V=2✖️3000✖️4=24kbps

这类题才是真的非常不好上手，但是经过了 3 刷王道选择题，现在已经基本搞明白了。

首先要注意有没有最大这两个字，没有最大这两个字不需要采用奈奎斯特定理，其次如果给了波特率和比特率的关系，才需要在香农定理的题目里都考虑。

具体想要再练可以去看王道的选择题。

本题应该选 C。

三种方式：停止等待协议，GBN 协议和 SR 协议。中间那个可以累计确认，外面那俩不行。

这几个协议在选择题里倒还好，但是在大题里，一定要引起高度重视。因为 TCP 采用的是类 SR 的协议，没有累计确认。

本题应该选 A。

这类题就是背书题了，主要是看清题目就可以了。

本题应该选 D。

假设站点距离为 x，那么 RTT 应该是 2x/(2✖️10^8)，而数据帧应该是 10x。

数据帧 -800bit，那么那么也就是 10y=10x-800，解得 y=x-80，所以应该选 D。

这类题感觉是必考题，除了题目给的信息之外，还需要注意一些字眼，例如单向传播时延，10BaseT，100BaseT 附带的隐含信息。

本题应该选 D。

第一个段起始：200，结束：499

第二个段起始：500，结束：999

确认序号是我希望你发什么，也就是我希望你发 1000。

这类题也是不难但是需要小心谨慎。

本题应该选 C。

16KB 超时，也就是新门限值为 8KB。

所以应该是：

• 1
• 2
• 4
• 8
• 9

过了 4 个 RTT 应该是 9。

注意如果是发送窗口，要考虑对方的接受窗口大小。

本题应该选 B，属于背书题。

只有信号走的是控制连接。

本题分析错误，应该选 A。

控制指的是发号施令，协调动作的信息，请求下载，退出等。FTP 命令举例，比如说请求下载，请求下载肯定走的不是数据连接（因为只有传数据的时候才是走的数据连接，并且数据连接一旦传输完数据了之后就释放了）

解：

不可以，考虑这样一种情况：

假设要求 a 到 d 的距离，那么一开始 u 是 a，选择最短的路径是 a-b，那么从 b 出发继续，选择 b-d 到达中断，总花费为 101，然而显然花费最短的路径应该是 a-c-d，总共花费 5。

这道题没什么好讲的，直接过就好了，不过初见端倪，图考的特别频繁。

解：

(1)

根据数学原理，假设链表长度为 n，将链表分成两部分，k 和 n-k，显然取一个指针先遍历 k 个单位，那么当前指针再向后遍历 n-k 个单位就为空，所以天然的得到 n-k 这个值，而题目要求正是得到第 n-k 个结点。

(2)

1. 定义两个指针 l1，l2，都指向带头结点链表 list 的下一个结点
2. l1 先遍历 k 个单位，如果遍历过程中 l1 是空，那么意味着 k 大于 list 的长度 n，直接返回 0
3. l2 与 l1 共同遍历，直到 l1 为空
4. 此时 l2 指向的结点就是倒数第 k 个结点

(3)

1
struct LNode{
2
  int data;
3
  LNode* link;
4
}
5

6
void solve(LNode *L){
7
  // 为空直接返回 0
8
  if(L->link==nullptr){
9
    return 0;
10
  }
11
  LNode l1=L->link;
12
  LNode l2=L->link;
13
  // l1 指针向后 k 个位置
14
  for(int i=0;i<k;i++){
15
    // 如果 k 超过 l1 长度，那么直接返回 0
16
    if (l1==nullptr){
17
      return 0;
18
    }
19
    l1=l1->link;
20
  }
21
  // l1 和 l2 共同向前走
22
  while(l1!=nullptr){
23
    l1=l1->link;
24
    l2=l2->link;
25
  }
26
  printf("%d",l2->data);
27
  return 1;
28
}

这道题是链表的基本操作，我觉得没什么好说的，过了。

解：

(1)

时钟周期：1/500M

一条指令的执行时间：5/500M

中断服务需要的时间：20*5/500M

假设传输 1s 的数据，即传送 0.5MB 的数据，总共要传输 0.5MB/4B=0.125M 次中断。

所以中断需要的时间是：0.125M✖️20✖️5/500M=0.125✖️20✖️5/500=0.025=2.5%

(2)

假设传输 1s 的数据，即传输 5MB 的数据，总共要 DMA 处理 5MB/5000B=1K 次。

依次 DMA 预处理和后处理开销时间为：500/500M=1/1M。

所以 DMA 总共需要的处理开销时间是：1K/1M=0.1%。

本题考察的是外设相关的知识，我认为这道母题十分重要。核心思路是以运行 1s 为例得到具体的字节数，这样计算会很方便。

此外还需要注意题目的表述（即时钟周期和指令条数变来变去）

总的来讲这类题不会难，但是需要注意这类题可以出变种，例如 2016 年的真题，一些问题留到那道题解释。

这类题非常经典，在 15/22 年真题也考了差不多的内容。

主要就是要辨析清楚每一个小步骤到底做了什么事情。

C5 (R0)->A R0out, Ain

C6 (R1)->MAR R1out, MARin

C7 M(MAR)->MDR MemR, MDRinE

C8 (MDR)+(A)->AC MDRout, ACin, Add

C9 (AC)->MDR ACout MDRinE

C10 (MDR)->M(MAR) MemW, MDRoutE

我觉得这类题还是得多做。

假设换一个任务，将这些数据存入 (R3)，那么：

C10 应该是：

C10 (R3)->MAR

C11 (MDR)->M(MAR) MemW, MDRoutE

其实都是类似的，主要还是要记住具体流程，尤其是 C1 到 C4 指令阶段。

1
func P1(){
2
  while(1){
3
    produce();
4
    P(空位); N
5
    互斥锁 1
6
    put();
7
    互斥锁
8
    V(奇数);
9
    V(偶数);
10
  }
11
}
12

13
func P2(){
14
  while(1){
15
    P(奇数); 0
16
    互斥锁
17
    getodd();
18
    互斥锁
19
    V(空位);
20
    countodd();
21
  }
22
}
23

24
func P3(){
25
  while(1){
26
    P(偶数); 0
27
    互斥锁
28
    geteven();
29
    互斥锁
30
    V(空位);
31
    counteven();
32
  }
33
}

1
semaphore mutex=1; // 互斥锁
2
semaphore empty=N; // 缓冲区空位
3
semaphore num_odd=0; // 奇数的个数
4
semaphore num_even=0; // 偶数的个数
5
func P1(){
6
  while(1){
7
    n=produce(); // 生成一个数
8
    P(empty); // 请求缓冲区空位
9
    P(mutex); // 互斥锁
10
    put(); // 放数
11
    V(mutex); // 释放互斥锁
12
    if(n%2==1){ // 判断这个数是奇数还是偶数
13
      V(num_odd); // 如果是奇数，则生成 num_odd 信号
14
    }else{
15
      V(num_even); // 如果是偶数，则生成 num_even 信号
16
    }
17
  }
18
}
19

20
func P2(){
21
  while(1){
22
    P(num_odd); // 消耗一个奇数位置
23
    P(mutex);
24
    getodd(); // 访问缓冲区得到奇数
25
    V(mutex);
26
    V(empty); // 释放一个缓冲区空位
27
    countodd(); // 统计奇数个数
28
  }
29
}
30

31
func P3(){
32
  while(1){
33
    P(num_even);
34
    P(mutex);
35
    getodd();
36
    V(mutex);
37
    V(empty);
38
    countodd();
39
  }
40
}

咸鱼六部曲：

1. 分析总共有几个人
2. 用中文描述每个人的动作，以及是否需要循环
3. 分析这个动作前需要 P 什么，有 P 就有 V
4. 分析互斥锁以及变量初值
5. 检查连续的 P 是否会导致死锁
6. 誊写并且检查

本题是经典的生产者消费者问题，只是做了一点简单的变式。

解：

(1)

题目的表述是“访问”。访问虚地址的目的是为了得到物理地址，由于题目里没有提到 cache，所以得到物理地址之后还需要根据这个物理地址去拿到东西。

页面大小为 4KB，则为低 12 位，所以：

2362H 的页号为 2，1565H 的页号为 1，25A5H 的页号为 2.

访问 2362H，首先访问 TLB，由于 TLB 为空，所以访问页表，根据页号 2 得到物理页框号 254H 并写入 TLB，得到物理地址后再进行访问内存得到数据，总计：10+100+100=210ns

访问 1565H，首先访问 TLB，由于 TLB 为空，所以访问页表，发现页表内没有，由于分配的物理页框是 101H 和 254H，且 254H 刚被访问了，由 LRU，将 101H 分配给页号 0，缺页异常结束后，信息写入页表和 TLB，指令回到读 TLB，，得到物理地址后访存，总计：10+100+10^8+10+100=100000220ns

访问 25A5H，读 TLB，得到物理地址后访存，总计：10+100=110ns

(2)

由上分析可知是 101H

本题其实不难，不过近些年的考研不会考这么简单了。主要是要捋清楚页号，页框之间的逻辑以及分配问题（不过选择题还有可能这么考，例如 21 和 22 年的选择题都有）

此外还需要注意，缺页异常结束后数据直接写入 TLB。

解：

(1)

202.118.1.0/24，可以拆分为：

202.118.1.0 - 202.118.1.127

202.118.1.128 - 202.118.1.255

所以，可以分配给局域网 1 的地址是：202.118.1.0/25，分配给局域网 2 的地址是：202.118.1.128/25。

(2)

局域网 1 的路由：202.118.1.0 255.255.255.128 / E1

局域网 2 的路由：202.118.1.128 255.255.255.128 / E2

域名服务器路由：202.118.3.2 255.255.255.255 202.118.2.2 L0

互联网路由：0.0.0.0 0.0.0.0 202.118.2.2 L0

(3)

202.118.1.0 255.255.255.0 202.118.2.1 L0

这道题我记得在最开始做的时候，云里雾里，是因为需要注意，采用/的记录方法等价于网络号 + 子网掩码。

此外还可以注意，对这类题还可能结合 NAT 考（而且非常常见）

408 2010 真题 2 刷#