考研冲刺前的总结 —— 错题本（数学）

张宇 30 讲基础高数 1 刷第 1 章#

没想出来怎么做，函数有四大性质：奇偶性，有界性，单调性，周期性，考虑该函数为奇函数，由此解答。

其实也有利用到奇函数的特性，我是利用相加去做的，最后做的有点复杂，但是也能做出来。

本题混淆定义域和值域的概念，对于这种题，首先要画图，然后将里面函数的值域作为外面函数的定义域带入，但是最后的定义域是写内层函数的。

做这道题的时候利用的是导数的性质。而答案采用的是基本不等式，上下同时除以一个绝对值 $|x|$（需要排除 $0$）。当然我认为不如分开讨论 $x$、$-x$ 和 $0$，上下同时除以 $-x$ 然后用基本不等式感觉也不错。

针对这种题的思路是同取对数进行处理。

并且本题 1 刷时数字抄错（$6\ln x$ 求导时少抄了 $6$），错题重刷时 $14^2-12^2$ 少算一个 $10$（算成 $42$）充分证明了计算错误的可怕，以及一步一回头的必要性。

本题在 1 刷时采用类泰勒公式的解法，而事实上 $2^x$ 可以化成类似 $e^x$ 的形式，直接将 $x$ 带入即可。

如果采用类似泰勒公式的解法，则是事实上完全不需要给出这个式子。

直接像下面那样子 $x=0$ 处泰勒展开就好了。

本题的做法是需要注意到 $y=\arcsin x$ 的值域为 $\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$，所以得分区间进行讨论。1 刷的时候进入了一个很大的误区，那就是：

令 $y=\sin(x-\pi)$，$x$ 的范围为 $\left[\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right]$，此时也就是说 $x-\pi$ 的范围是 $\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$，如果直接取反三角函数，也就是 $\arcsin y=x-\pi$，最后得到 $x=\arcsin y+\pi$。

错误点在于，原函数其实是 $y=\sin x$（也就是此 $y$ 非彼 $y$），$x$ 的范围为 $\left[\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right]$，变化为 $-y=\sin(x-\pi)$ 才对，而不是直接令 $y=\sin(x-\pi)$。

本题采用直觉做，错误，告诫一定每一题都要算出来，而不是依靠直觉。

关于这题，对是对了，可以注意一下解法，也就是令 $g(x)=\frac{f(x)}{f(x)/g(x)}$，当然直接反过来得到 $1/A$ 也是没什么问题的。

本题把两边同时除以一个 $n$，错误点在于没有讨论 $x=k$ 的情况。

本题采用洛必达，不过其实用 $x\ln x$ 的快慢收敛更简单。

这道题需要注意方法，也就是夹逼定理。需要注意的是其等号的作用范围。尤其需要注意当 $\frac{10}{x}$ 时，符号方向得反过来。

关于本题，其实是作对的，但是一开始的时候把 $\ln(x+y)$ 拆成 $\ln x+\ln y$ 了，尤其需要注意。

本题完全忽略了 $(1+x)^2$ 也可以展开，所以没做出来。

尤其需要注意两个展开式应该相乘，而不是展开式直接相加。

$\frac{\ln(\cos x)}{x^2}$，其中不可以直接利用 $\ln x<x$，第一是因为这是无穷大时的结论，第二是因为 $\ln 1=0$，$\frac{0}{0}$ 属于未定式。

注意求的是第二类间断点个数，不要把第一类算进去了。

求解这类题的时候，首先是找出可能的点，然后一个个去试，需要注意 $\arctan x$、$e^x$、$|x|$。

错选为 C。想当然的锅，事实上认真算一下就知道了。

错选为 C。只考虑了 $>1$，没有考虑 $<1$ 的情况，倒反天罡。

本题也是错在想当然上面，$1+x+x=2+x$，然后填错了。

做出来是一条直线，对完答案之后没有复盘。

对于这题，化简到 $xe^x-e^x+1$ 的时候，如果提取 $e^x$ 然后一阶泰勒展开就可以得到经典的错误，标准的零分。原因是底下是 $x^2$，而泰勒展开是有皮亚诺余项的，显然不足以满足。

-() 要变号，低级错误。

泰勒展开只对 $\sin x$ 展开，没有考虑 $\cos x$。事实上这题应该把 $\sin x\cos x$ 视为 $\sin 2x$ 来处理会很方便。

张宇 30 讲基础高数 1 刷第 2 章#

本题利用函数极限的保号性，只不过是对 $1$ 保号，也就是最终肯定是在 $1$ 处附近。所以前有限项只要有比 $1$ 更大的，那么就存在最大值，前有限项只要有比 $1$ 更小的，那么就存在最小值。

其实是保序性。

低级错误，脑测为 1。

本题 1 刷时毫无思路，对于第一问，显然是使用夹逼定理；对于第 2 小问，应该想办法把 $a_n$ 或者 $b_n$ 变成对方，从而得出答案。既然思路是这样，那么根据等式，$a_n$ 显然不方便进行代换，所以换 $b_n$。由于 $b_n^2$ 和 $1-\cos x$ 可以代换，所以进行代换，从而迎刃而解。

本题作为错题二刷时做错了，因为分数倒腾来倒腾去导致计算错误。

证明此类题有两种做法，证单调有界，利用压缩映射（先猜再证）

对于本题，先证单调性。后一项减去前一项，可得一串式子，这串式子算对了，但是最后想利用单调性的时候，$\frac{3}{2}$ 算成 $\frac{3}{4}$，且没有利用有界性。

顺带提一嘴，本题在二刷的时候最后脑算 $2A^2=3A$，算错了。

利用结论，1 刷和错题刷都错了。

事实上，只需要画图就可以很好的理解这个结论。

本题 1 刷和错题订正都没做出来，原因是不会。当然经过强化之后，这点知识是还可以的，因为这道题明显是上面说的第 2 类做法，在进行压缩映射的时候，需要利用拉格朗日中值定理等条件去放缩。

用夹逼定理和特值法做。

本题为低级错误，$\sqrt{n}$ 除下去的时候要注意。

违规使用等价无穷小代换

考虑夹逼定理，这题二刷差点没做出来。比较正规的做法是分块算，也就是把 $\frac{1}{n}$ 和后面的一大坨给分开。

一刷时没思路，错题重刷时没写，现在再做一次，二刷的时候再做一段时间才做出来。本质的思路是把 $x_n$ 解出来，然后 $x_1<x_2$，对应的函数单调递增，可得单调性，有界性对于 $x_n$ 而言显然。

张宇 30 讲基础高数 1 刷第 3 章#

关于这道题，1 刷的时候暴露了一个问题，那就是我不是不会做，而是总是在最后一两步的时候突然犯蠢。所以不只是得走一步看一步，还得着重检查最开始和最后，这些都是最容易让人懈怠的。

这两题可以放在一起讲。这道题其实是有结论的，具体结论在武忠祥老师的强化课基本搞明白了。包括我没放进来的下一题，重点是记住这两个：

$x|x|$ 以及画图，画一张图就能理解函数的导数绝对值之间的关系了。

当然也可以用传统做法做。

例 3.5 就是想当然了，算一半直接选了错误选项。

例 3.6 则是试根用长除法，但是 2 刷的时候才突然意识到，原来可以先因式分解，然后问题就迎刃而解了。

开卷子初期时候补充：需要注意本身就不可导的点，例如 $x^{1/2}$，$x=0$ 不可导。

这道题是一刷的时候没算完，只算出来了交点没算完极限。

这两题可以放在一起讲，1 刷的时候明显对概念不熟悉，错题重刷的时候也一般，2 刷的时候险些没反应过来。

对于不经常考的考点也需要注意。

本题是知识点的不熟悉，需要注意。

没想到洛必达。

2 刷的时候看了提示才想起来。

在这里可以辨析一下洛必达可以洛几次，如果某个函数在一个区间内 $k$ 阶可导，那么在这个区间内可以洛 $k$ 次；如果一个函数在某点处 $k$ 阶可导，那么在这个区间内只能洛 $k-1$ 次。

上面这个说法是错误的！一样只能洛 $k-1$ 次。可以洛的前提是第 $k$ 阶导存在（或为无穷）

张宇 30 讲基础高数 1 刷第 4 章#

本题一开始想成相加，后来做的时候使用的是上一节的导数思想，然而在处理 $\tan\frac{\pi x}{4}$ 的时候翻车了，这里 $x$ 趋向于 $1$，而不是 $0$，所以在这里的处理需要小心。2 刷的时候用的是洛必达，感觉也是可以去凑一下的，但是没必要。

本题答案的解法采用的是第 2 种，也就是采用 $(uv)'$ 的求导。

注意辨析 $x$ 和 $y$ 之间的关系，这里的 $3+e$ 指的是 $y$，也就是当 $y=3+e$ 的时候，$x=1$，而不是 $x=3+e$

连续的 yx 等的计算错误以及加减号

这题错在利用公式法的时候，求解出 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}$ 和 $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$，直接拿前者去对 $t$ 求导，而不是拿 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 对 $t$ 求导。本题 2 刷时尝试使用公式法。

本题错在两个地方，第一，$x=\arctan t$ 求导求出来最后是带 $x$ 的，第二，一个经典的错误，标准的零分：除以 $\frac{1}{1+t^2}$ 一定不是直接把这个写在分母。

大量的计算错误，且一开始没注意到取对数。

题没看完，求的是 $x=0$ 时的点，而不是完整的。

本题可以采用归纳法，1 刷时采用牛莱公式，但是确在计算 $C_n^1$（上 1 下 n）时出现问题，做出来等于 $1$，实际上应该为 $n$。

利用牛莱公式，结果 $C(n,k)$ 再次记错公式。

低级错误，漏抄了一个 2

低级错误，求二阶导的时候求成 $A+1$ 了。

低级错误，求 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 的时候忘记除以 $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$ 了。

没想到用泰勒公式

进行泰勒展开的时候需要尤其注意最后求的是什么，而不是直接把 x 的形式保留在那里。

张宇 30 讲基础高数 1 刷第 5 章#

看了半眼才反应过来是构造函数

严谨的证明是利用费马定理 + 举特例

关于这题，需要注意两件事。第一，看到 $e^x$ 一定要想到正无穷和负无穷；第二，关于无穷的时候 $e^x>x>\ln x$，这个要记住。

数列。

1 刷时已经根据不出草稿了判断出哪里计算错了，二刷时则是因为对 $\tan x$ 求导，求导求成 $\sec x$ 求导。

低级错误。1 刷时做对了，但是选错选项了（答案是 B，错选为 D）

本质是极限的计算错误：

1 刷的时候错误在计算 $y-ax$ 的时候，单独先算了前一项；错题重刷时错了是因为不知道为啥洛必达的时候，把 $-e^x$ 跳步成了 $-xe^x$。

张宇 30 讲基础高数 1 刷第 6 章#

注意零点定理的作用范围。在 $[a,b]$ 连续，在 $(a,b)$ 上有零点

做这题的时候完全没有任何思路，只尝试了一下用二阶导表达。但是显然二阶导不能用

本题做的时候当时还没学为微分方程，所以没做出来。

这题 2 刷的时候虽然做出来了，但是花了大量的时间，原因有以下两点：

1. 被一阶线性非齐次微分方程的通解公式给影响了
2. $e^x$，$e$ 的次方上面的式子假设是 $a\ln x$，那么不可以变成 $e^a\cdot e^{\ln x}$，原因很简单，$e$ 的乘法等于幂上的加法。

应该是做了一会儿没思路直接看的答案。

本题可以利用罗尔原话去做，具体就不讲了。

这题证明的时候采用的是导数的定义，其实是可以做的，最后也是导向类似拉格朗日中值定理，但是当时做的时候完全没反应过来。

这题做的是对的，不过除了构造法之外，还可以用拉格朗日中值定理。

一刷时标记先跳过，结果也没看。

这道题可以注意一下，可以看出有 3 个根，然后证唯一性可以用罗尔定理的推论来获得上界。

本题没看完题目（求正实根）

本题 1 刷时没做，2 刷时也没做，难度不高计算量很大，就放了。

但是可以注意一开始如何设函数。

本题和答案方法不一样，利用罗尔原话！

这道题我自己是在做的时候硬求导然后反复利用题设的结论。

没做出来。对于这类题在强化的时候总结为要证两可以相等的，用两次拉个两日/柯西中值去凑。

本题采用隐函数反带入做的，但是和 2 刷时的 $\sin x$ 那个一样，可以采用罗尔原话！

张宇 30 讲基础高数 1 刷第 7 章#

用定义去做

单位

1 刷时没做。

张宇 30 讲基础高数 1 刷第 8 章#

1 刷时没想到两边同时对 x 求导，需要注意这一点。同时求导可以消去积分号。

错题重刷时这题算错了。

想到用几何法做了，但是在做的时候没有沉下心来捋清楚对应关系所以才做错了。沉下心来捋清楚关系其实不难。

3 没想到用几何法去做，而 2 则是想当然的直接认为是对的。

事实上这题结合图像去做很简单。

想到强化阶段时武忠祥老师的一个简单结论，如果变化和 n 程度相当，大概率是往定积分方向去想，所以先提出一个 1/n，然后去凑形式。

这题错是因为上下同时乘上 n，而不是一步步去凑形式。

本题错在 2 个方面。第 1 是经典的错误标准的零分，$\tan\frac{\pi}{4}=1$，而不是 $\frac{1}{2}$，$\tan\frac{\pi}{2}$ 不存在，而不是 $1$；第 2 是没有想到怎么放缩，也就是对放缩用的不熟练，这题是一个经典的放缩，并且在第 6 章的课后题有证明。

没想到怎么做。对于含三角的式子，第一反应就应该是区间再现。

变限积分存在就连续，其他就是应用对于变限积分的讨论了。这题应该是不小心看到了答案，做的还是没问题的。

导函数在该点存在不意味着导函数在该点连续。事实上这道题只需要说明导函数在该点存在就可以了，显然这道题导函数的左右极限都相等，所以存在导数。

又可以联想到此前的论证，函数极限存在和函数连续是两码事，函数的极限存在和 $\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)=\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)$ 一样，但是 $\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)=\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)=f(x_0)$ 才可以说明函数连续，这是一个我经常错误的点，需要注意。

当然这道题用结论做就好了。

这道题没有思路，但是放在 2 刷来看的话，其实绰绰有余，不断地利用绝对值不等式以及积分不等式就可以了，对于这类题，必要的时候也应该联想到拉格朗日中值定理。

这道题可以注意一下，是凭感觉直接做的。

这两题放在一起讨论。这两题张宇的课本给的都是很玄学的做法，导致我完全不能理解这一块内容。事实上，对于反常积分而言，并不是所有的点都是在 0 或者在 + 无穷处无定义，1 这个点只是常用分界点，而不是必然分界点。

所以，对于第 18 题，观察到无定义点为 $0$ 和 $1$，所以分区间讨论，分成 $\left(0,\frac{1}{2}\right)$ 和 $\left(\frac{1}{2},1\right)$。当 $x\to0$，可以发现 $\ln x$ 对 $x$ 无影响，所以由 $p$ 积分可知 $a<1$；当 $x\to1$ 时，对 $\ln x$ 进行变形可以得到 $x-1$，对其进行讨论发现其无论如何都可以积出来，所以不影响收敛性。

对于 19 题是类似的，这里就不展开了。

没想到简单做法，在那里硬算。

和前文同质错误，也就是原函数，可积和变限的可导连续判断。

本题没有踏踏实实计算，直接化简成了 $\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ 去做，很是低级。

没想到怎么做，本题是夹逼定理和积分的结合。

本题采用一个很低效的办法做，也就是定义，而且最后还因为+-错误而错误。事实上，这道题可以利用本章第 1 题的做法，两边同时求导，就很轻松能做出来。

和前文的敛散性判断同质错误。

张宇 30 讲基础高数 1 刷第 9 章#

关于这一章，计算问题非常的大，需要多复盘。

1 刷，错题重刷等多次错误。包括但不限于对 a 的处理以及+c

1 刷采用换元法进行处理，做错了，2 刷忘+c。

+c

采用换元法，但是这道题题抄错了，题抄成 $f(\ln x)=\frac{\ln x}{e^x}$ 了。

+C

毫无思路。考虑到 $e^x$ 的存在，猜测这道题应该是弄出来两项可以消掉或者可以合并。又考虑到三角恒等式。

1 刷的时候极为轻视，将这题直接跳过了，强化阶段也选择性的跳过了这部分。事实上，结果就是 2 刷的时候第 8 题错的一塌糊涂。

本题处理时对于 $x^2+1$ 项用的直接是 $B$，而不是 $Bx+C$

对于 $\arctan x$ 的变形公式背错。我认为对于这种不应该去背公式，而应该求导完之后再算一次看看有没有问题。

算这道题的时候题抄错了，少抄了一个 $\ln$。另外可以注意一下区间再现。

这两题可以放一起讲。后面那题没去算，因为计算太复杂了。前面那题则是没想到可以利用 $\arcsin(\sin x)$ 去简便计算。

需要注意，这道题的结论的积分上限一直是 $\pi$，其他变形另说，而不是一步到位。

一步步计算，本题变限积分求导的时候，一定要注意是 $x^4$！

法线。

第一是没想到应该拆绝对值。碰到绝对值想办法拆绝对值，这基本是铁律。

第二是理解错泰勒公式。这道题是 F(x) 展开式后面的式子，而不是里面的东西展开是这个式子。

这题在做的时候应该是认为里面的太复杂了，然后没敢化简。事实上，这题化简一下就可以迎刃而解了。

这道题应该是一直在那里想着怎么拆，对于这种题，一定要想一下三角换元。

这两题都没做，问题不大，和数学 1,3 相关。

做的时候没处理好连续。

定义，$\tan x$ 在 $\frac{\pi}{2}$ 上无定义。

不会做。

没有想到可以先利用奇偶性化简，导致做出来很复杂，然后计算错误。

思路正确，但当令 $tx=u$ 进行变量代换时，对 $x$，$t$ 和 $u$ 之间谁是变量谁是常量混淆。

没考虑定义域。

张宇 30 讲基础高数 1 刷第 10 章#

没有想好定义域和值域，也没有画图直接想当然做，导致减反了。

对于本类题无从下手，事实上这种题相当于换元。

对于这种题没有头绪，但是事实上这种常见曲线需要背诵。另外需要注意其定义域。

对于这题想到了这道题有很多个区间，但是没想到要分成 $k\pi\sim(k+1)\pi$ 讨论，这点需要着重注意。另外可以注意一下等比数列的计算。

第一，注意定义域；第二，计算错误，最后这道题没有除以 2。

本题直接列公式硬算，但是最后在换元法的时候积分上下限理解错误。

但是我觉得这道题不应该硬算，而应该利用强化课武忠祥老师的方法去做，这样这道题就不会碰到什么很神秘的问题了。

采用微元法第 2 问计算错误。和上一题类似的，对于这类题用二重积分的思想去解题。这里微元法的错误来自于对锥形的计算错误，因为这道题的锥形是绕着 $x=1$ 去算的，所以不可以粗浅的理解为绕着 $y$ 轴转那样去算。

对于变上限积分理解不足。

没做。利用强化课的二重积分思想即可。

属于低级错误。对 1/y 积分，求出来是 lny，而不是-lny。

漏看范围，以及提取因子提取错误。

微元法的锅了，这道题采用二重积分思想很快。

张宇 30 讲基础高数 1 刷第 11 章#

本题错在这几个方面。第 1，没想到变限积分；第 2，关于第 2 问，把 e 踢出去，而不是把 f(x) 提出去。这样犯了两个问题，其一，利用推广后的积分中值定理需要注意内部是不变号的，其二，就算 f(x) 是不变号的，那么提取出去的东西会有一个很抽象的问题，那就是随着 n 的变化，ε会变。

夹逼定理。

没做。

这道题的问题本质上来源于对变限积分的不熟悉。

这道题想到利用两次拉格朗日中值定理并不难，但是难的是想到放缩这里要拆开放缩。

这两题放在一起讲。本质是因为路径依赖，始终想到利用拉格朗日中值定理。但是事实上除了中值定理之外，面对积分还有两个处理路径。第一是分部积分，第二是牛莱公式。在拉格朗日中值定理走不通的情况下，可以考虑用分部积分或者牛莱公式，而且对于分部积分的考虑应该提前。

没想到积分中值定理。

没想清楚本质是在证明什么。

这道题只需要证明里面的大于等于 0 即可。

和 11.10，11.11 一样。

这道题 1 刷的时候完全没想明白在干啥，事实上利用一个很“土”的办法就是变量代换 $b$ 为 $x$，迎刃而解。

泰勒公式背错了。

张宇 30 讲基础高数 1 刷第 12 章#

“又”

搞清楚坐标系的位置，对于这类题，一定要搞清楚 $x$ 和 $s$ 之间到底分别是什么。

这里的 $P$ 其实就是 $F$（公式里的），按照自己的理解就好了。

不会做。对于物理应用题，事实上强化那块搞一下才真正大概搞明白怎么个回事，对谁积分，谁是变量等，以及抽水做功是对重力做功，而不是对压力做功。

张宇 30 讲基础高数 1 刷第 13 章#

本题没想到用夹逼定理，对于这类题，根据强化经验可知，先判断是否齐次，然后一般采用夹逼定理去证明。

本题巧合做对，事实上这道题如果采用换元法问题会很大，即便换元了，还是里面的 t 还是 t，又不会发生变化。

对于这题需要注意这几个问题：第一，$u^2$ 抄错了；第二，换元法之后的代回问题。

本题巧合做对。原因是没有对 $f_1$ 等进行求导。

关于这题主要是对记号理解不清晰，对于第一个式子求导，是对 $f(x,e^x)$ 求导，而不是对 $f(x,y)$ 求偏导，这种题可以联想到先代后求和先求后代。

想当然没取倒数。

没想到举反例：$(y-x)^3$。

公式法求的时候要有负号。

本题是不封闭曲线（也就是得考虑区间），所以使用拉格朗日乘数法算出来的只是边界条件。

事实上这道题 2 刷的时候用了三角换元，迎刃而解。

这题当时 1 刷的时候没看懂是什么意思，其实很简单，先利用偏积分求出原函数，然后因为是面积内，所以需要考虑边界和本身。

属于低级错误，本题做对了，选项选错了。

张宇 30 讲基础高数 1 刷第 14 章#

对于本题应该利用定义求解，没有理解定义。

对于这道题，没有想到用二元积分的积分中值定理去做，对于二元积分的积分中值定理，可以类比一元的去理解。

对于这题，没有理解什么是 $x-y$ 给的条件是什么，也是用定义去做。

对于这题犯了一个经典的错误，也就是 $\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}x\right)=\frac{1}{2}$

对于这种题，曾经一直执着于直接带入去计算，事实上只需要画出积分区间就很简单了。

对于这题是对 $t$ 和 $y$ 积分，尤其需要注意是对谁积分，二刷的时候也差点没捋过来。

没有想到轮换对称性在那里硬解。

没有想到利用极坐标且这道题跳步导致计算错误。

积分区域搞成整个圆。

这俩没啥好说的，直接跳。

本质这道题 $a$ 不会算是对极限的定义理解不清晰以及对知识点迁移的能力还是不够。

考虑轮换对称性，然后被薄纱。对于这种题需要就事论事去分析。

最后一步。

没想到怎么做。

没想到先化简。

对于这两题没有稳扎稳打去分析，非常浮躁（这两题最开始先跳了，回头再来写的）

张宇 30 讲基础高数 1 刷第 15 章#

本题没想到积分怎么积分，其实这个积分也是经典积分：$\frac{1}{1+\sin u}$。

本题没有辨析清楚 $y$ 和 $Y$ 的区别。

本题应该辨析清楚 $y$ 和 $x$ 的关系，这道题采用 $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}$ 便迎刃而解。

这里 1 刷的时候是没有搞明白变限积分函数和不定积分的联系是什么，所以没有联想起来。

本题错误原因和上一题类似。

对于这一题是利用换元法，但是在写这道题的时候却进入误区，惯性思维直接 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 转换为 $\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}$，而没有就题论题去分析。

这道题在转换为特征方程的时候错误，所以还是一步步计算。

后面的题 1 刷的时候都没做，需要注意的是做了一道物理题，但是要分辨清楚变化率的正负性。

本题错在想当然上面，和 2 刷的时候的一个错误点（也就是没有想清楚 2 重根）类似。

本题没有搞懂怎么做，但是其实慢慢分析能做出来。

关于这道题，手生 + 计算量大，所以没算完。

本题错在没有一点一点分析背后的本质，所以心虚没做对。

张宇 30 讲基础线代 1 刷第 1 章#

本题错误原因为第 3 行第 4 列的 $-1$ 抄成了 $1$。

本题错误原因为行列式不是矩阵，对某一行乘上一个 $k$，那么外面需要除以一个 $k$，而不是什么都不做。

在全部加到第 1 行提取出来之后不会做了。这道题属于经典题，需要注意。

本题硬做的，没想到范德蒙行列式。

三对角矩阵用递推法，本题硬做没做出来。

硬算然后算错了。

只想到了一边，没想到另一边。

可拆分矩阵，再做一遍果然能有新的不同理解！

对概念的理解，没想到替换行。

再做一遍确有不晓得收获，对于这道题一开始完全没有意识到是什么意思，也就是学了后面的才知道这道题应该怎么分析，用矩阵不等式，而不是像答案里这样用反证法。

第 1 题，第 3 题没做，除了硬解之外没什么好方法。

第 2 题直接带进去了，没有考虑是否应该变号。

张宇 30 讲基础线代 1 刷第 2 章#

本题没想到可以中间合并，需要注意的是，不要把矩阵当一个简单的 $a$，$b$ 数值元素看待 0。

本题犯了一个经典的错误，标准的零分，那就是将 $A$ 先变形成好算的样子再求幂，先变形意味着 $A$ 不再是原本的 $A$ 了。

本题是没想到可以将 $E$ 拆出来，事实上对于这种题后续直接用求相似的方式去解就可以了。

本题没有思路。事实上需要将二者联系起来，也就是找一个可逆矩阵联系起来就好了。

多个可逆矩阵相乘一定是可逆矩阵，用行列式证明即可。

$A^*$ 是竖着写。

算出 $A^*$ 后，第一行第三列符号抄反。

忘记拉普拉斯定理。

提取提出去的时候要 $n$ 次方，需要注意。

本题错误原因在使用伴随矩阵提出去的时候没有按照行列式去算，也就是没有 $n$ 次方。

与错题重刷时错误原因一致，没有考虑到可逆。

主要是矩阵不等式的应用需要熟练。

本题没有考虑利用行列式法进行考虑。

本题 $-6$ 的 $n$ 次方的 $n$ 系数错误，属于低级错误。

第 9 题主要是没想到可以用那种方法表达。

第 10 题取逆的时候化简错误。

第 11 题在那里展开算，而不是同时取行列式分析，属于方法性错误。

第 12 题没有考虑到等价是秩相等。

第 14 题主要的问题是提取错误，例如 $B-AB=(E-A)B$，这个需要尤其注意。

第 15 题取逆计算错误。

张宇 30 讲基础线代 1 刷第 3 章#

对于这题，本质上是一刷的时候没有捋清楚向量组和方程之间的关系，所以完全不会做。

$0$ 向量肯定和其他向量线性相关。

没有考虑过方阵时采用行列式法。

用矩阵定义去做，错题重刷时计算错误（$-1$ 想成 $1$）

这三题 1 刷的时候直接跳了。

第 2 题为低级错误，但凡多想一下就不会错。

第 3 题是想错了谁应该秩更大。

张宇 30 讲基础线代 1 刷第 4 章#

单纯是没有捋清楚解这种题的套路。

没有捋清楚背后的转换，以及没有填+-

完全没有想到从秩不等式的角度出发。

本题也一样是秩不等式。

本题想当然地认为 D 是错的，而没有上手去算。

这两题都应该从秩不等式的角度去考虑。

从来没有想过可以从行列式的角度去思考，本质是对线代的理解不足，没有非常融会贯通。

对于这类题要辨析解的结构，然后就迎刃而解了。

本题没有想清楚路线，通解一定是求齐次解和非齐次解，分清楚慢慢求。

仅考虑了片面，没有考虑所有情况。

这道题就是捋清楚有解的结论以及如何变形为同解方程组即可。

没理解透增广矩阵的意义。

张宇 30 讲基础线代 1 刷第 5 章#

本题理解错行列式，对于行列式，初等行变换和初等列变换都是可以的。

跳了。事实上这道题可以利用秩，显然秩为 $1$，所以有 $n-1$ 个特征值为 $0$，所以用矩阵的迹可得后面。

对于这道题没有理解透约束，在强化阶段理解了。

没想出来怎么做。本题利用 $A^*$ 和 $A$ 得关系就可以解出来了。

本题毫无思路，原因是没有意识到 $A$ 得每行元素之和为 $2$ 意味着什么。并且本题也没有意识到 $A^*$ 与 $A$ 的关系。

矩阵相似迹相等，本题本来用的是算出特征值，其实完全没必要。

属于经典关系，矩阵相似迹和行列式相等。

判断这类题，首先从实对称矩阵入手，实对称矩阵一定可以化简成对角矩阵；对于 $B$，显然有 $3$ 个不同的特征值；对于 $C$，显然 $0$ 为其特征值，并且 $0$ 时有 $2$ 个线性无关的解，所以可以相似于对角矩阵。

即凑形式。

一一对应，但是我认为用分开成两个矩阵再做的方式更保险。

本题想当然认为 $P=A\alpha$。

与 11 题类似的错误。

本质是对概念和定义理解不清晰。

本题二刷时也有疑惑，为什么，但是实际上证明一遍就很清楚了。

本题对与 A 相关的特征值和特征向量不熟悉，在 2 刷的时候仍然忘记了。

第 6 题理解错 $A^*$ 的行列式与 $A$ 行列式的关系，对于 $A$ 的行列式，其 $A$ 行列式/特征值可以得到 $A^*$ 的特征值，而已知 $A^*$ 的行列式，不能用这个方法反过来，而应该是利用行列式那里学的，$A^*$ 恒等式来直接算出来 $A$ 的行列式。

第 7 题应该是个关系式，只写了一个点。

计算错误。

张宇 30 讲基础线代 1 刷第 6 章#

得拆成对称。

注意配方法，以及必须得写出可逆线性变换是什么。

使用配方法的时候，没有平方项要去凑。

注意是化成标准型，而不是规范形。

两次变形得到的经典题目。

配方法没配出来。

没有想明白合同应该考虑的是什么，合同应该考虑惯性系数。

实对称矩阵必然合同；本题又是相似的变形。

1 刷的时候非常迷茫，现在 2 刷再做一次理解了。

想当然。

低级计算错误。

张宇 1000 基础 1 刷第 1 章#

本题没上手做直接选的答案，也就是想当然导致的错误。

对于这题是定义理解错误。

这道题不会做，并且对泰勒公式的定义理解错误（上下均用泰勒公式用了不知道多少次而且分子泰勒公式用错。

第 17 题泰勒公式理解错误，只展开了 $\tan x$ 而没有展开下面的。

第 18 题题没看完，求的是函数而不是单个极限。

本题抄错正负号并且滥用等价无穷小。

张宇 1000 基础 1 刷第 2 章#

本题没想到使用拉格朗日中值定理，并且在错题重刷的算半错，因为这道题错题重刷的时候一开始就放缩为 1，导致实质上没法使用夹逼定理。

本题 1 刷时在那里试，错题重刷的时候对题目理解不清晰。事实上这道题只需要稳扎稳打分析，并且利用好 $a=2\ln(1+a)$ 这个条件。

张宇 1000 基础 1 刷第 3 章#

本题错误是因为滥用等价无穷小，$\frac{\ln(x-1)}{f(3-x)}$ 确实可以代换为 $2$，但是在化简到需要通过定义计算的时候，想当然直接求了，也就是 $\frac{x-1}{2f(2-x)}$ 的时候没有细致分析，而是直接认为是 $\frac{1}{2}$。

第 12 题做着做着题目抄错了，$\pm$ 符号问题。错题重刷的时候仍然是同一个问题。

第 13 题一下没想出来怎么做，使用特值法做做错。

张宇 1000 基础 1 刷第 4 章#

本题错误原因在于没有对 $f(x)$ 本身求导。

第 8 题错误原因在于对参数方程的理解错误，原参数方程分别对 $t$ 求导后得到的方程并不是导函数的参数方程。

第 9 题到最后一步推出来是偶函数，但是还是想着原函数是奇函数，事实上这道题一开始的时候就直接把 $f(1)$ 算出来就好了，还代入代入那么多。

张宇 1000 基础 1 刷第 5 章#

本题错选为 B。错题重刷时仍错。

本题 $-\frac{1}{2}$ 带入错误。

未考虑正负无穷。错题重刷时仍错。

本题不会做。错题重刷时仍错。

张宇 1000 基础 1 刷第 6 章#

本题被拉格朗日中值定理带偏，事实上只需要变形然后求解即可，错题重刷时也是错的。

没想到用拉格朗日中值定理求解。

没想到怎么做，包括错题重刷的时候也没想到。对于这类题也就是需要踩一个点去解，公式化两次拉格朗日找点。

详细解释一下这里的介质定理，$ax+by$，其中 $a+b=1$，那么一定存在一个 $z=ax+by$，其中 $z$ 介于 $x$ 和 $y$ 之间。

张宇 1000 基础 1 刷第 7 章#

对于这题属于低级错误，$2$ 和 $\frac{1}{2}$ 约分的时候，结果是 $1$ 而不是 $2$。另外也需要注意这道题具体是求什么，$\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}=1$，而不是其他东西。

张宇 1000 基础 1 刷第 8 章#

第 1 题对积分的定义理解错误，没有仔细去看。

第 2 题完全没理解自己当时在做什么，只能归咎于经验不足。

本题错选为 B，滥用等价无穷小。对于这种题应该先用奇偶性化简才对。

这类题不看当时是怎么解的了，当时对 $p$ 积分的理解基本为 $0$。

本题 $1-x^2$，$2$ 次方抄没了。

这道题印象深刻，是多个 $\pm$ 号导致的错误。但是事实上这道题直接用绘图法就可以轻松解决。

张宇 1000 基础 1 刷第 9 章#

第 5 题属于低级错误，$-2e^{-1}-2e^{-1}\ne0$。

第 6 题代入的时候少抄了一个 2 倍。

第 8 题没做，属于当时不熟。

第 9 题 $x\ln x$ 将 $1$ 代入算成非 $0$。

本题只算到一半，然后就没继续算下去了。

本题不会做，我感觉答案的做法学不来，所以应该是利用 2 刷时的换元法做。

第 24 题 $\frac{1}{3}+\frac{1}{3}$ 算成 $0$

第 25 题应该是拆根号的问题。

第 26 题换元法的时候上下限求错。

第 32 题少抄了一个 $x$。

第 33 题把 $\arcsin x$ 抄成 $\arctan x$。

第 34 题直接将 $1$ 代入然后计算出 $y'$ 是 $\pm1$，显然错误的想法

张宇 1000 基础 1 刷第 10 章#

本题采用估算，结果估算算半天不如正常算。估算还估错了。

经典错误，积分上下限错了，直接填的 $[0,\pi]$，而没有根据题目意思是 $[0,1]$。

单纯是因为没有认真分析。

牛莱公式最后一步代入错误。

算半天结果就是合起来算不如分开来算。

第 14 题积分求解错误，多约了一个 $x$。

第 15 题单纯是因为积分没积出来。

本题属于一个印象很深的错误，积分是升次，我算成了降次。

张宇 1000 基础 1 刷第 11 章#

第 1 题完全没想到用基本的求导 + 零点定理就可以解决。

第 2 题也是完全没想到可以利用分部积分。

个人认为是熟练度问题。

不会做。

张宇 1000 基础 1 刷第 12 章#

全部贴在这里，就不分析了。这里的每一题我其实都记忆深刻。

张宇 1000 基础 1 刷第 13 章#

第 8 题，事实上这道题我都不知道在做什么，令 $uv$ 即可。

第 9 题，二刷时才真正理解这道题的具体意思，把 $y$ 当成常数来讨论，而不是当成变量来讨论。

一个计算量超级大的题，算错了。

没想到怎么做，令 $\cdots=0$ 即可

计算错误。

张宇 1000 基础 1 刷第 14 章#

对于这类题的处理手法当时不清晰。先绘制出积分区域，然后再判断对称性。

第 13 题属于计算错误。

第 15 题漏抄一个乘 2。

第 16 题也是错在拆根号，当初没有意识到，结果就是二刷的时候也错了。

错的乱七八糟的。

跳了，没想到用极坐标去做。

方法复杂。本体就是想多了，直接轮换对称 + 正常地 $x=r\cos\theta$ 即可。

本题对于积分换元法的理解不够充分，已经把 $p^2$ 凑进去了，然后不会做了。

张宇 1000 基础 1 刷第 15 章#

第 1 题代入的时候把特解想当然为 $0$。

第 2 题没有注意到法线。

第 3 题其实稳扎稳炸分析列出来就能做了。

这两题都没想到换元。

本题少抄了一个 $+1$。

注意到 $y$ 轴的距离应该是 $x$。

张宇 1000 基础 1 刷线代第 1 章#

利用余子式计算的时候 $\pm$ 号错误。注意并非 $\pm$ 轮替，而是必须得用 $(-1)^{i+j}$ 去研究。

利用基础方法做，不如根据回头来看的经验去做（也就是相似性）

张宇 1000 基础 1 刷线代第 2 章#

第 8 题。算半天的 $A$ 的逆和 $B$ 的逆，不如好好展开分析。

第 9 题属于超级低级的错误，2 刷的时候错的也是一模一样的原因，懒得喷了。

张宇 1000 基础 1 刷线代第 3 章#

张宇 1000 基础 1 刷线代第 4 章#

2 刷犯了一模一样的错误，上界和下界不能漏。

第 8 题，对于 $D$ 注意是行满秩才满足，而这道题是列满秩。当初的对行，列的定义理解地非常不清晰。

第 9 题需要注意这里是非齐次的，所以得 $+1$。

第 11 题当初是完全没有理解什么意思。显然三个无关的向量可以表示任意向量，然后根据这个去做。

第 12，13 放一起讲，也是对行满秩，列满秩的理解，以及对于线性方程组有解秩的理解。

第 14 题则是用了三秩相等，但是没有理解为什么这么用，所以导致的错误。

张宇 1000 基础 1 刷线代第 5 章#

当初对本章的理解极为匮乏。对于 $E$ 的变形，特征值可以变，然后特征向量不变（可以证明过去）

单纯不会做。事实上利用初等矩阵去做。

本章的 12-23 题全部都做的非常神秘，我认为也是对线代理解地不完善，就不一道题一道题地解释了。在做完杨威线性代数之后，对线代地理解加深了非常多，从而对这类题也理解了很多。

张宇 1000 基础 1 刷线代第 6 章#

这些都是第一次学不懂的产物。

武忠祥高数强化 1 刷第 1 章#

本题 1 刷时没求定义域，错题重刷时候定义域写漏了 $0$。

本题 1 刷时定义域求解错误，$1-x\ge1$ 求出来并非 $x\le2$。错题重刷时绘图错误。

1 刷，错题重刷时均错误，从下面可以得知，2 刷时也错了。1 刷时候，没想到 1 为什么是错的。错题重刷时则没有考虑到：该点极限不一定为该点的值，需要尤其注意。

考虑这类定义题的时候，一定要先考虑不连续的情况。

属于低级错误，这道题忘记自己在选必为偶函数了。

这道题需要注意，尤其是 $|f(x)|=0$ 那个结论。以及这道题在选择题上的技巧，也就是直接法和排除法的应用。

对于这道题的第 1 问利用极限的保号性。

这道题是单调有界，但是这道题直接展开 $\ln n$ 的思想其实是不对的，应该是判断 $a_n>0$ 和用 $a_{n+1}-a_n$ 来算，然后发现可以化简。

对于泰勒公式的应用不要考虑弯弯绕绕，用最低次幂原则展开到不能约分即可。

对于这道题利用定积分定义的时候变成了 $1+x^2$。

这道题是对经典极限的定义把握不明确，$x^2-\ln(1+x)$，泰勒展开后应该是 $\frac{1}{2}$，而不是 $-\frac{1}{2}$ 的。

利用泰勒公式的经典问题，即要全部展开，并且 $x$ 可以和 $x^3$ 匹配。

对 $\cos x$ 的泰勒展开不明确。

认为提出 e 是非法操作，本质是对概念理解不清晰。

对泰勒展开的理解问题，一定是要展开到不能约掉为止。

对 $\cos x$ 相关的泰勒展开不明确。$1-\cos x$，对 $x$ 进行变换和对 $\cos x$ 的次数进行变换是两码事。

错题重刷也错了，$\frac{u}{v}$ 一整个求导不要和 $\frac{1}{u}$ 求导混用。

没想到怎么做。

连续取 2 次 e 就好了，其实不会难。

本题想当然认为 $n^n$ 和 $(n-1)^{n-1}$ 相关可以直接去掉。

忘记等比数列求和公式。

对于这类题需要注意 $\frac{n}{n-1}$ 之类的去凑。

这类题需要注意 $k$ 和 $n$ 的区别。

没有思路。

没有思路。

没有思路。

这道题证明上界用的是数学归纳法。

对于这道题，$e^x\ge x+1$，如果将 $x$ 替换为 $-x$，符号不变。

没想到怎么做。

知道要去把后面的消掉，但是不知道怎么消。显然不是利用三角不等式去消（因为带了尾巴）

提取 $-x$ 后直接利用泰勒展开。尤其注意这道题是提取 $-x$。

完全没有理解 $mn=1$。

生搬硬套结论，不如硬算。

没有考虑 $k\pi$

对于这类题，一定是一条路：没有条件要创造条件。显然设 $g(x)$，然后利用第一个条件，同时除以 $x$，然后就很轻松可以去证明了。

武忠祥高数强化 1 刷第 2 章#

洛与不洛的问题，需要深度辨析。

泰勒公式，使用配凑法的时候，跳步导致 $x$ 和 $x^2$ 系数配错（分母）。

注意直接法和间接法的问题。对于 $D$，经典的反例，也就是 $|x|$。

这道题尤其需要注意，前面的 $-3$ 本身也是不可导点。

细致分析即可。

只需要把握 $\tan x$ 的几何意义即可。

二刷犯了类似的错误，忘记把平方算进去了。

注意导数的链式法则可以直接用。

本题主要就是变量太多了，容易混淆，事实上搞清楚即可。对于这道题，错题重刷的时候也是错的。

使用硬求算错了。注意公式法。

谁是 $x$，谁是 $y$，属于是经典的问题。

注意使用泰勒展开的时候是把 $0$ 带进去的。

本题的问题是脑子抽了想错了，所以最后选错了。

关于这道题的辨析详见 2 刷。

洛不洛的问题，当然这道题也可以直接用领域法去做。

罗尔定理。

罗尔定理推论。

分离参数。

这道题主要是分析方法，可以很容易得到 $f'(1)<0$，从而由于单调递减，可以得到之多一个零点。

当然这道题也可以采用泰勒公式进行分析。

主要注意可以用泰勒公式和拉格朗日中值定理进行分析。

不要盲目套公式，可以逐项分析。

变限积分这里可以用分段函数来表达。

自己构造出来的函数如果还是带有‘，再网上想一层。

次数问题。

这种题被这道题的上一题影响了，想着一定是 $f(c)=1-c$。

武忠祥高数强化 1 刷第 3 章#

路是对的，主要的问题是做到最后一步的时候没想到直接利用原条件进行化简。

没想到用积分中值定理。

这道题被当初基础 1000 的那道题给绊住了，老是想着分部积分。

这道题尤其需要注意，尽管变限积分表示的是面积，但是，这道题当 $x<0$ 的时候，应该上下限变一下，从容改变 $\pm$。

没想到利用变限积分。

主要是计算问题。

这类题经典需要注意变元怎么变。

1 刷的时候不会做，错题冲刷得时候没有注意 $\frac{5}{2}\times x$，结果求导了之后 $x$ 还保留。

本题是对的，但是需要再看。

柯西积分不等式，没招，这个回头和二重积分最后那里专门去看。

事实上，这道题直到 2 刷完基础 1000 之后才彻底理解了怎么做。

理解了就不难了，之前始终没有理解。

第 3 问为低级错误，$x$ 凑进去的时候系数配错。

对于本题的 1，对 $r$ 积分不要和对 $e$ 积分搞混淆。

对于这道题，利用换元法的思想 + 二重积分来理解。

没想到可以计算出抛物线。

抽水做功是对重力做功。

武忠祥高数强化 1 刷第 4 章#

对于第 1 题，属于基本功问题，C（fx）直接把 c 忽略了。注意多个常系数。

对于第 2 题，尤其要注意特解。特解的情况下可以不求出完整的再解系数，可以先猜后解。

注意对变限积分的求导问题。

注意两个问题：谁是 $X$ 谁是 $x$；可以利用面积相减来化简，不一定要求出直线坐标方程。

1 刷的时候没做，错题重刷的时候三角形是什么错了。

其实也是一个经典的错误，坐标值不等于长，而应该坐标值之差。

武忠祥高数强化 1 刷第 5 章#

先求后代？先代后求？忽略了定义。

本质是对高阶无穷小的理解错误。

这道题其实是不会求最后的不等式？我在 2 刷时的想法是拆成 $y>x$ 和 $y<x$ 讨论，这道题则是直接判断有界。

不多评价，这个是懂得都懂。

在先代后求的时候，一定要注意谁是常量，谁是自变量。

没做。

本质是对记号的理解问题。

本题无从下手，事实上上对于这种提，先不管必要性还是充分性，反正直接写先证谁推谁就可以了。

然后再进行其他的分析。

然而对这道题利用上面的结论根本不会利用，2 刷的时候直接用的通法，反而会做。

漏了 $0$，$0$ 这个根。

对于这类题，尤其是要注意区域内的极值和条件最值都要算。

本质是没有捋清楚谁是目标函数，显然这道题 $d$ 是目标函数。

求偏导计算错误。

武忠祥高数强化 1 刷第 6 章#

对于这类题，尤其注意 $x^2+y^2$ 不是直接变成 $R$，也是需要代入计算的。

基本功问题，计算错误。

在 $\frac{t}{2}$ 变成 $u$ 的时候，不能想当然，必须要实打实的写出那些经典步骤。

这个就是范围选择错了。

这道题当时是最后一步的时候，对点火公式的对称性理解错误。

没做。

对于这类题的通法其实就是交换一下积分次序然后利用积分中值定理。

分析问题了。

杨威线性代数强化 1 刷第 1 章#

对于这种题，一定要想着往范德蒙行列式上面去凑。

对于这道题，我没有任何思路，用的是排除法。事实上，只需要凑出来 $AB=E$ 这个式子，那么 $A$ 和 $B$ 必然是可逆的（为方阵的前提下）

这道题做的是对的，但是理解有误，没有理解为什么为什么可以这么做以及这么做的含义在哪里（本质是对知识点串联不起来）。

本题为计算问题，即把数字从行列式提出去，一定是 $n$ 次方。这点要和 $A^*$ 的行列式区分开来，$A^*$ 的行列式是 $n-1$ 次方。

本题采用特值法求解。对于这类题的核心要义是去凑，以及 $A^{\mathrm{T}}+B^{\mathrm{T}}=(A+B)^{\mathrm{T}}$。

计算错误。注意 $(-1)^{n\times n}$。

本题设出来所有的值，然后试图一个个代入计算，这是错误的。事实上应该考虑到他们的内在联系，即 $A^*$ 和 $A$ 的联系，从而凑出答案。

对于这道题没有思路。事实上这道题的思路来源应该是第 5 章，也就是 $A$ 的每行元素之和均为 $2$，所以有一个特征值 $2$，而 $A^*$ 的特征值对应为 $A$ 的行列式/特征值，特征向量不变，所以这道题应该是 $1.5$。这道题的本质是在求 $A^*$ 的特征值。

概念理解问题，$A\ne-E$，只能说明 $A+E\ne O$，而不可以说明 $A$ 满秩。

属于小学三年级级别的错误，$3\times 7=21$，而不是 $24$。

这道题错在两个地方，思路错误以及抄错了。

对于这类题，首先计算 $A$ 的 $n$ 次方，然后再 $aE$ 去减即可。本质也是后续知识的串联。

杨威线性代数强化 1 刷第 2 章#

这道题没思路，利用的是最传统的方法去做。对于这类题，可以考虑 $A$ 和 $A^{\mathrm{T}}$ 之间的关系，从而去凑答案。

概念理解问题。等价，不等价，行等价，躐等贾，这个辨析在二刷那里有详细说明。

此外，对于 $AB=A+B$ 这个式子，一定要记住去凑 $+E-E$。

计算 + 思路的双重错误。对于这道题，尤其需要注意能不能取逆。这道题的 $A$ 不可逆，所以必须得配凑去消元。

而原题是注意到利用 $(A+E)^3/(A-E)^3$，我认为考场上我不可能这么注意到。将 $A$ 右乘，然后得到一个式子，再右乘 $A$ 然后带回原式，我认为这个思想才是可取的。

所以也就是说，对于原始式子可能不只是只利用一次，得蜿蜒曲折地前进。

这道题在做的时候采用了特值法。一样也是去提公因子然后去凑就可以了。

对这道题没有什么思路。事实上这道题就是前面说的，蜿蜒曲折地前进，以及去凑。例如对于这个式子，两边同时左乘一个 $A$，然后再利用原始的式子进行化简，蜿蜒曲折地前进。

这道题凭感觉，没有使用严格推到。

对于这类题的变换，一定是要采用乘上可逆矩阵的方法，不可以想当然。例如右乘只能做列变换，左乘只能做行变换，这类东西一定要捋地清清楚楚。

凭直觉做对的。对于这类题一定要注意，$AA^*=|A|E$，当 $A$ 不满秩的时候，$A$ 的行列式为 $0$，从而直接 $AA^*=O$。

这道题利用特值法派出了 CD。事实上对于这类题一定是要利用矩阵的秩不等式，采用类似“夹逼”的思想。

没有思路，这道题是和后面知识点的关联。

行等价一定是做行变换等价，所以是化简为行最简。

有思路，但是分析错误，尤其是对于 C 的特例。

对于 $C$，显然是举出一个例子，当 $n=2$ 时，对于 $C$ 不成立。对于 $B$ 则是利用秩不等式去“夹”出来，对于 $A$ 和 $D$，由于 $A$ 列满秩，所以对于 $m\times n$ 的矩阵，$m\ge n$，且 $r(A)=n$。利用秩不等式，$r(AB)\ge r(A)+r(B)-n$，即 $r(B)\le r(AB)\le r(B)$，所以 $r(AB)=r(B)$。同理，$r(AC)=r(C)$，所以 $r(B)=r(C)$。

从另一种角度考虑，移过去解方程，方程唯一，所以 $B=C$。

杨威线性代数强化 1 刷第 3 章#

注意方法的简便性与章节的联系。由于 $A$ 不能由 $B$ 表出，那么显然 $A$ 的秩大于 $B$ 的秩。由于 $A$ 满秩，所以 $B$ 不满秩，所以 $|B|=0$。

属于经典的错误标准的零分。秩不满则是无穷多解，我就写了一个，此外满秩也应该进行讨论。

采用特值法。这道题最正规的做法就是令 $\gamma$ 等于两个式子，然后两个式子变形解出来答案。

但是感觉不如特值法。

对于这类题要采用反证法。

没有任何思路，二刷的时候也错了。

把握 $P$ 的思想，这个思想特别常见。

这道题错在对定义的理解上。对于这种经典的变形，也就是 $A\alpha$ 这种，一定是构造。（第二问）

对于第一问也没想到用定义的方法去做，对于证明线性无关，采用定义法证明。

这道题没有思路。事实上直接令矩阵然后表达出来就可以做出来了。

大题不要老是想着用特值法。

对这类题没有头绪，也是二刷最开始写的辨析那里的问题。

一样也是辨析的问题。

思路错误，也是之前讨论的“回代”问题，题目条件不一定只使用一次。

D. 设矩阵 $A$、$B$ 满足 $AB=E$，$E$ 为 $n$ 阶单位矩阵，则 $A$ 的列向量组线性无关，$B$ 的行向量组线性无关。

讨论 $B$ 和 $D$。对于 $D$ 是辨析里面的错误，对于 $B$ 则是脑子抽了错了。被之前那题 $A$ 取 $n=2$ 的反例影响了。

等价，行相关，列相关，行等价，列等价之类的问题。

杨威线性代数强化 1 刷第 4 章#

这道题主要是数列的首项计算错了，以及没想到克拉默法则。

这道题主要是最后一步理解错误，假设 $A$ 的秩和 $B$ 的秩均为 $1$ 的情况下，那么 $B$ 矩阵就没用了。

从原本的式子下手去变形。

没有任何思路。其实逐项分析即可。

这两题属于同质错误，具体在 2 刷那里讲的很清楚了。

计算错误。

计算。

计算。

这类题就是我前面说的，可逆变换与不可逆的问题。

杨威线性代数强化 1 刷第 5 章#

对于这题我其实不知道能不能直接约去 $x_1$，$x_2$，$x_3$，按照标准答案来写吧。

一脸懵逼，不知道怎么做。对于通解可以挖掘出来很多东西，这道题显然 $\frac{1}{2}$ 为特征值（一定要注意不是 $2$，这里是把 $x$ 代入），以及 $0$ 为二重特征值且其特征向量分别为。

可以注意一下这一系列的变形。

这道题非常经典，可以注意一下。例如利用 $\mathrm{tr}$ 等，主要是证明相似对角化的方法。

这道题需要注意分析方法。对于特征值还可以采用直接设特征值的做法去解。

计算问题。

抄错了。

杨威线性代数强化 1 刷第 6 章#

对这道题，注意记号问题，本质上是不理解记号的含义。

计算过程乱七八糟的，一定要注意 $aE+B$ 的优化。

后面就基本没写了。

880 综合 1 刷第 1 章#

做这种题就不要想着用泰勒公式了，提取之后展开就行（其实和第 2 章那里是一样的，如果不是在 0 处展开，那就不要用泰勒公式了）

重刷的时候错了。有关于泰勒公式阶数的问题，需要注意在展开的时候，次数得大于下面的。

错选为 C。本题只需要举例即可。对于 1 和 2，显然错误，当 $x_n\to+\infty$ 时，前者趋于 $\frac{\pi}{2}$，而后者肯定不是；对于 3 和 4，$\arcsin x$ 本身就是有界函数，只要证明其单调性即可。对于 3，由于 $x_n$ 收敛，所以后者肯定收敛于某个特定值，对于 4 即证明其单调性。

第 18 题，错选为 A。本题是结论记错了，对于变上限积分函数，如果里面有可去间断点或者连续，那么变上限积分可导；如果是跳跃间断点，那么变上限积分不可导但连续。

第 19 题，错选为 D。趋于 $0$ 的时候判断错了，$0$ 这一点虽然没有定义，但是其左右极限存在，不是无穷，所以肯定是在 $0$ 的某个领域内是有界的。

本题理解错一个很重要的东西，那就是该点的极限不存在不意味着该点肯定是无穷。

低级错误。本题犯了一个经典的错误，标准的零分，那就是 $\sin x$ 和 $\cos x$ 同时展开后（同时展开多项），然后应该每一项都要和每一项匹配，而不是只匹配几项就开始算了。

本题类似基础三十讲第 1 章的练习最后 1 题，也可以把 $\sin x\cos x$ 三角变换一下。

第 4 题为低级错误，考虑了等价代换和拉格朗日中值定理之后忘记把 $A$ 带进去了。然后重刷错题也错了，$\varepsilon$ 是 $b$ 没错，但是问题提示拉格朗日中值定理那个是 $e^{\varepsilon}$，好像第一次刷也是因为这个错了。

第 5 题为低级错误，计算问题。考虑将 $a_n$ 进行分部积分，然后推导出 $a_{n-2}$ 和 $a_n$ 之间的关系，这条路其实是走不通的（被以前的固定题型给影响了）。对于这种题，应该先考虑夹逼定理，再去考虑分部积分。

然后重刷也错了，这题其实就是考虑分部积分，而不是用夹逼定理。我自己做出来用夹逼定理另一侧没得放缩，所以本来就是错误的。

用答案的方法在做一遍其实还是错的，因为这题其实不是分部积分，只是普通的积分罢了。我在计算的时候把他当分部积分去算了，自然是错的。

这道题给我最大的感想就是：不要被经验影响了。

低级错误，为计算问题。在考虑 $x\to0^+$ 和 $0^-$ 的时候，想当然然后直接写答案，而没有具体计算。

第 2 次算的时候惯性思维，认为 $[x]$ 是 $x-[x]$。

特值法解出答案。本题其实没想到怎么做，错题重刷时根据答案提供的泰勒公式解出来。

事实上我感觉这道题泰勒公式的来源应该是先通分，通分后可以发现使用泰勒公式

第 2 小问等比数列求和计算错误。

第 6 题 $1-e^{1/x}$ 等价无穷小代换错误。

第 7 题 $\sec\frac{\pi}{x}$，当 $x\to0$ 时是什么，计算错误。